所以,牛頓第一定律有什麼用?

這大概是從我國中接觸物理到現在,最想處理的一個棘手議題——到底牛頓第一定律有什麼用?有個常見的說法是「這是牛頓第二定律所蘊涵的命題」。而另一個說法是,其實牛頓第一定律主要的內涵在慣性參考系的概念。以第二種說法而言,根據 Stanford Encyclopedia of Philosophy / Space and Time: Inertial Frames,其實牛頓本人寫的《Principia》並沒特別指出慣性參考系這種概念。之所以會有慣性參考系的概念,是因為既然我們知道不受力的物體都會做等速直線運動,那麼究竟是對「誰」做等速直線運動(詳見 19th-Century Analyses of the Law of Inertia)?後來恩斯特·馬赫(Ernst Mach)才指出,其實牛頓的慣性定律,或者說整組牛頓定律其實都是隱晦地(implicitly)相對於無窮遠處固定不動的星體的定律。換言之,所謂的慣性參考系,就是相對於無窮遠處星體做等速運動的所有參考系。

話說回來,無論如何,牛頓第一定律——慣性定律——都不會是慣性參考系本身。既然如此,那慣性定律到底是什麼呢?如果只是靜者恆靜,動者恆作等速度直線運動,那這不就是可簡單由第二定律推得的嗎?

Law 1: Every body preserves in its state of rest, or of uniform motion in a right line, unless it is compelled to change that state by forces impressed thereon.

Law 2: The alteration of motion is ever proportional to the motive forces impressed; and is made in the direction of the right line in which that force is impressed.

我想在此分享我對由 Igal Galili 與 Michael Tseitlin 寫的〈Newton’s First Law: Text, Translations, Interpretations and Physics education〉的閱讀心得。簡言之,原始論文的兩位作者經由對牛頓拉丁原稿的研究,發現慣性定律有著兩種互補的形式,分別是延時形式(temporal)與量化形式(quantitative)。前者就是常見教科書的版本,但後者是自從慣性定律被譯成英文版後,就被大家忽視的版本(也就是翻錯了),而且我們只能從量化形式理解作為「努力維持運動狀態」的慣性意義,並進而由此推出第二定律的雛形,作為解釋運動現象的全新觀點。因此,兩位作者希望能夠藉此文重振牛頓第一定律在基礎物理課程中的重要性。而關於下述慣性定律的應用,可參考〈為何這些現象跟慣性定律有關?〉這篇文章。


論牛頓第一定律的常見翻譯

在《Principia》於 1687 年與 1713 年的拉丁第一二原版中,慣性定律寫為

Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.

其後,於 1729 年,數學家 Motte 為我們帶來了第一本《Principia》英譯版,其中的慣性定律為:

Every body perseveres in its state of rest, or of uniform motion in a right line, unless it is compelled to change that state by forces impressed thereon.

除非被施加於其上的外力強迫改變狀態,否則每個物體都會鍥而不捨地維持在它的靜止狀態之中,或勻速狀態之中(Ethan 譯)

其中,作者認為 Motte 翻得不太正確,因為拉丁文 nisi quatenus 並不是「除非:unless」,而比較是「以…程度不去…:so far as not」。此外,於 1930 年,一位名為 Cajori 的數學史家將慣性定律譯為:

Every body continues in its state of rest, or of uniform motion in a right line, unless it is compelled to change that state by forces impressed upon it.

除非被施加於其上的外力強迫改變狀態,否則每個物體都會維持在它的靜止狀態之中,或勻速狀態之中。(Ethan 譯)

作者認為 continue 去除了原本 preseverare 的”堅韌”、”堅持”、”執著”、”鍥而不捨地堅持”等意義。甚而從根本上創造了一個新的慣性定律,所以這已不再是牛頓最初寫的慣性定律了。

Cajori, in comparison with Motte, further simplified the text by replacing perseverare, directly corresponding to ‘preserve,’ by continue. This translation deprived the text of the meaning of persistence (tenacity, adherence) not necessarily presumed in continue. ‘Perseverare’ is not among the choices of the reverse translation of ‘continue’ from English into Latin. Despite the intention of the translators to seemingly seek greater simplicity, the introduced changes (‘continue’ and ‘unless’) clearly created a new text of NFL.

隨後,1936 年,俄國科學學院(Russian Academy of Science)的力學大師,Krilov,首次將牛頓定律寫為兩種互補的對偶形式,其關鍵在於底下的兩個詞彙恰好都是拉丁文 ‘perseverare’ 的部分意思,兩者缺一不可。

  1. ‘to preserve’ [the state]
  2. ‘to continue’ [to be in the state]

此外,Krilov 也注意到拉丁文 ‘nisi quatenus’ 也有著相同的對偶結構:

  1. ‘so far as [it is] not’
  2. ‘until’

因此,作者彙整出英文版的兩種對偶(或說互補)的慣性定律:

Temporal form: Every body continues in its state of rest or uniform motion in a right line, until it has been compelled to change that state by forces impressed upon it.

Quantitative form: Every body preserves its state of rest or uniform motion in a right line, so far as it is not compelled to change that state by forces impressed upon it.

待會我會解釋所謂的延時形式(Temporal form)與量化形式(Quantitative form)的意義。我將它們翻譯為如下形式,讀者可以將其與 Motte、Cajori 英譯慣性定律的中譯版相互比較:

延時形式(T-form)每個物體都會維持在它的靜止狀態之中,或勻速運動狀態之中直到它被施加於其上的外力,強迫改變其運動狀態。

量化形式(Q-form)每個物體都會以它不被施加於其上的外力改變狀態的程度的努力鍥而不捨地維持它的靜止狀態,或勻速運動狀態。

中譯的 Motte 版本:除非被施加於其上的外力強迫改變狀態,否則每個物體都會鍥而不捨地維持在它的靜止狀態之中,或勻速狀態之中

中譯的 Cajori 版本:除非被施加於其上的外力強迫改變狀態,否則每個物體都會維持在它的靜止狀態之中,或勻速狀態之中

牛頓第一定律的延時形式(Temporal form)與量化形式(Quantitative form)對應的情況。

底下就讓我仔細介紹這兩種形式的物理意義。簡言之,依照慣性定律的拉丁文原版[1],第一定律可分為兩種形式。物體不受力時的延時形式、以及受力時的量化形式(或說瞬間形式)。前者是所有國高中生都學過的慣性定律,後者是被後人誤解而遺忘、但卻能夠使它找回應有的價值與歷史地位的牛頓定律。我先介紹幾乎每個人都學過的版本,雖然乍看之下有點不一樣,並作些觀念上的推論,希望能讓讀者更清楚牛頓第一定律的意義。之後再介紹受力時的牛頓第一定律。

本文目錄


第一定律的延時形式

延時形式(T-form):每個物體都會維持在它的靜止狀態之中,或勻速運動狀態之中[2]直到它被施加於其上的外力,強迫改變其運動狀態[3]

所謂的延時形式,是指此形式所描述是處於有限長時段內的物理情境。倘若一直沒有受到外力,那麼物體會持續維持在它的靜止狀態或等速運動狀態中。而與之相對的,是隨後才介紹的瞬時形式(或說量化形式),瞬時形式就是描述無限小時段內的物理情境。

1.不存在著延遲受力的情形

「$P$ 直到 $Q$」的意思是,當 $Q$ 發生時,$P$ 就不發生了。因此,當物體被施加的力強迫改變運動狀態時,物體就不維持靜止或等速運動狀態了。也就是說,不可能物體已受力,但卻作等速度運動,彷彿受力被延遲了,再過一會兒才會開始改變運動狀態。為什麼不可能延遲呢?設想一個情況,有沒有可能你被籃球砸到了,過五分鐘後才開始喊痛?就算是這樣,你也會說「你被籃球砸到」不是導致「你感到痛」的直接原因,而是間接原因。例如,「你被籃球砸到」導致「內傷」,而「內傷」再導致「你感到痛」。因此,直覺上,我們認為因果之間的時間間隔應該是趨近於零的。由於牛頓將力量視為物體變速運動的原因,也就是說,變速運動是受力導致的結果,所以「物體受力」與「變速運動」之間的時間間隔應該是趨近於零的。

2.將力量視為使物體改變狀態的原因

曾經有人問,為什麼牛頓不把第一定律寫得簡單點呢?例如,「每個物體會一直維持在靜止靜止狀態,或者等速度運動狀態,直到它受力」。市面上參考書肯定有類似的說法,但這樣的簡化就會遺漏掉牛頓想強調的重點:不應該只是說「直到它受力」而已,而應該要說是「直到它施加於其上的力改變狀態」。牛頓不僅僅是提出力量這個名詞,他還將力量視為使物體改變狀態的原因。運動狀態(靜止或等速直線運動的統稱)是我們能觀察到的現象,但使運動狀態改變的自然機制是什麼?就是力量。

能觀察到的現象背後的自然機制運動狀態改變了改變運動狀態的東西

   改變它的東西 → 造成 → 運動狀態的變化

                    力量 → 造成 → 運動狀態的變化

原因的發生 → 造成 → 結果的發生

原因結果力量運動狀態的變化

3.不再將力量視為使物體運動的原因

在上述第二點中,我提到牛頓將力量視為「改變」物體運動狀態的原因。而為了加強這個印象,我甚至應該強調,以第一定律來看,力量也根本不是「使」物體運動的原因。在日常生活中,我們都知道如果你要讓書桌往前移動,那麼你一定要對它向前施力,它才會動。因此,我們往往都由這樣的經驗歸納出「力量是『使』物體運動的原因」。這樣的歸納之所以可能錯誤,是因為我們對上述的「力量」有不同的解釋:

「力量」是使物體運動的原因

  1. 若「力量」是指「你推的力量」,那麼就是說,因為你推了物體,所以物體運動了。這在因果上的判斷是正確的,不論是在物理學還是日常用語中,都沒有問題。
  2. 若「力量」是指「物體受的合力」——儘管這可能曲解你的意思,但往往也是此說法誤導了學生——那麼就是說,因為物體受的合力不為零,所以物體運動了。但這往往也進一步暗示了「如果物體合力不為零,那麼物體就不會運動」。畢竟物體運動的唯一原因是「受到不為零的合力」,倘若這原因消失了,那麼物體還會運動嗎?所以,我們必須強調,牛頓認為物體的等速度運動是沒有原因的只有變速運動才有原因。而這種物體等速運動是沒有原因的概念,就是「延時形式的慣性」的真諦。何謂慣性就是物體不會自發地改變其自身運動狀態就是物體會維持其運動狀態

4.我們是如何得知物體不受力的?

雖然我們剛才提到,運動狀態之所以會變化,是因為物體受到力量。但我們該如何知道物體有無受力呢?牛頓的答案是,藉由物體狀態沒有改變我們得知並且定義物體當下沒有受力。雖然,我們是反過來使用「物體沒有受力」以說明「物體狀態沒有改變」的現象。當然,如果力量一詞只用在解釋運動狀態改變的現象,而且又是單獨地由運動狀態的變化來定義有無受力,那麼「力量」的說詞並沒有什麼價值——反正你怎麼說,我怎麼信。就好像我問你什麼是緣份?你說就是「我遇到你就是有緣份,沒遇到就是沒緣份。因為我們有緣才相遇,不過最後可能因為沒有緣份而離開彼此」,這種解釋使得「緣份」沒什麼價值。不過,力量一詞代表的內容當然不只如此了,還有整個牛頓力學能預測的所有自然現象在幫它撐腰呢。這或多或少使我們相信力量是”真實的”,就算只是個理論上有用的數學工具而不真的存在,那也是真的很有「用」了[4]

5.化解「靜止—運動」的二元對立

首先,讓我們了解一下「狀態」一詞的意思。如果我想向說服你我很帥,最棒的方法莫過於找一個比我醜許多的人來比較比較。也就是說,如果要讓你了解「狀態」一詞,那麼我們可了解與狀態相對的概念——就是狀態的變化,亦即過程。我們稱為「狀態與過程的二元對立」。而最符合直覺的狀態就是位置或者心情,我總是可以說現在你在哪,心情好嗎?等等你又在哪,心情好嗎?

初狀態(我家四樓) → 過程 → 末狀態(我家一樓)

初狀態(早上心情不錯) → 過程 → 末狀態(下午心情不好)

Newton-first-law-state-new

就其作為狀態與過程的本質來說,大致有以下的規則:

  • 初時刻 $(t_1)$ → 經歷時間 → 末時刻 $(t_2)$
  • 初狀態 $(t_1)$ → 經歷過程 → 末狀態 $(t_2)$

由此可知,狀態是一種能夠存在於一時間點上的概念,而過程則不能。試問物體具有什麼樣的性質,能夠存在於時間點上而作為它的狀態呢?恐怕就非物體的位置莫屬了。仔細看看我們說的「運動狀態」,請問一張照片能呈現出物體的運動嗎?也就是說,運動能存在於一時間點上嗎?還是說,只有一段影片才能呈現出物體的運動?

取材自 Google 圖片——「賽車」。

例如說,我在今天 9 點 20 分 31 秒運動得很快。這顯然很詭異,因為如果運動是可能的,那麼就必須經歷一段時間,所以當我說出「運動狀態」一詞時,就蘊涵著「有一種必須經歷一段時間的概念,而它是一種存在於一時間點上的概念」,這顯然是自我矛盾的詞,就好比「單身漢的老婆」。早期亞里斯多德物理學的「狀態」概念就是如此[5],對亞里斯多德而言,物體的(自然)狀態就是靜止的狀態,而所謂的狀態之間的變化過程,就是所謂的運動。而牛頓就是做出了這項概念上的革命性突破。

在牛頓力學的思考框架下,物體速度可區分為瞬時速度與平均速度,而瞬時速度就是在時間上,存在於一瞬間的概念(詳見:〈到底什麼是瞬時速度?〉)。因此,只要重新定義「狀態」,讓「狀態」不僅指涉存在於時間點上的概念,也能指涉一瞬間的概念,那麼「運動狀態」就不是自我矛盾的詞。所有物體的運動,都是狀態的連續性變化:

狀態一 → 狀態二 → 狀態三 → 狀態四 → …..

更進一步來說,多數人的直覺預設了「靜止與運動是二元對立的」:

靜止:運動=狀態:狀態變化的過程

然而,牛頓力學的框架是:

靜止+等速運動[6]:變速運動=狀態:狀態變化的過程

6.物體的延時慣性

為了凸顯第一定律的運動狀態與慣性意義,第一定律裡提到的靜止狀態或等速運動狀態,藉由上述提到的牛頓對「狀態」的觀點,我將它們統稱為「運動狀態」。所以,第一定律就可縮寫為:

物體會一直維持它的運動狀態之中,直到它被施加於其上的力改變其狀態。

「物體會一直維持在…之中,直到它被施加於其上的力強迫改變其狀態」表示,假若物體不受力,那就不會產生運動狀態被改變的結果。也就是說,物體不會自發地改變運動狀態。任何物體的運動狀態都是被外界改變的,而非自發的。而「在…之中」是我刻意將「continues in」的「in」翻譯出來的,表示物體是處在某個運動狀態的,而且它會維持下去,並不會自發地從某個運動狀態被放出來,也就是不會自發跳脫出某個運動狀態。因為在牛頓力學中,物體在不受外力影響時,物體總是能在——在時間上——持續地保有其運動狀態,所以我將這種慣性稱之為延時慣性

7.釐清可能誤會:與其他常見寫法的比較

最後,我們還要進一步比較零力形式與其他常見寫法,釐清可能的誤會。

  • 直接英譯版:任何物體會一直維持靜止狀態,或者等速度運動狀態,直到它被施加於其上的力強迫改變其狀態。
  • 國中課本常見說法:物體不受力時,靜者恆靜,動者恆作等速度運動。
  • 維基百科:假設沒有任何外力施加或所施加的外力之和為零 $(p)$,則運動中物體總保持勻速直線運動狀態,靜止物體總保持靜止狀態 $(q)$:$p\to q$
  1. 國中課本常見說法並沒有說明物體受力時,靜者是否恆靜、動者是否恆等速運動的問題,而必須另外靠之後的牛頓第二定律作判斷。由於它並不像是「假若…則…」的條件句,而是「…的時候,就是…的時候」的關係句,所以恰好定義了「物體不受力」,使得能藉由判斷物體現在是不是「靜者恆靜,動者恆作等速度運動的時候」,得出物體是否不受力的結論。最後,儘管如此,它的「…的時候,就是…的時候」說法並不一定使人聯想到,力量是作為使物體改變運動狀態的原因。
  2. 維基百科的條件句說法的疑慮是,所以我該如何判斷物體有沒有受力?因為並不能由其說法推得「假設運動中物體總保持勻速直線運動狀態,靜止物體總保持靜止狀態 $(q)$,則沒有任何外力施加或所施加的外力之和為零 $(p)$」:$q\to p$ [7]。因而喪失了牛頓透過「運動狀態之改變」來判斷、甚至是定義「物體有無受力」的效果。

介紹完牛頓定律的常見版本後,接著要來替牛頓第一定律的地位平反了。讓我們來看看第一定律的量化形式吧!

第一定律的量化形式

量化形式(Q-form):每個物體都會以它不被施加於其上的外力改變狀態的程度的努力鍥而不捨地維持它的靜止狀態,或勻速運動狀態。[8]

如果要將每個含有重要意涵的詞翻譯出來,那麼難免唸起來很詰屈聱牙。不過,為求讓讀者儘快理解它的意思,我捨棄些重要涵義並將之簡化為如下:

任何物體都會以它的自由程度的努力,鍥而不捨地維持它的運動狀態。

也可以說[9] :

物體有多麼自由,就有多麼鍥而不捨地維持運動狀態。

甚至是更簡潔的形式(若仍不失其原意的話):

任何物體都會盡其所能地維持運動狀態。

牛頓第一定律的量化形式主要是描述物體受力瞬間的反應。畢竟,假若沒有受力,那麼又怎麼會鍥而不捨地維持運動狀態呢?所以,我們也說這個形式是第一定律的受力形式它專門處理物體受力時的慣性。而當物體受力時,物體在受力的每個瞬間,都是全力以赴地維持、保有原本的運動狀態。接下來我希望稍微簡介一下牛頓所謂的「慣性」是什麼意思。

歷史上的每個時期,人們都對「慣性」一詞有稍微不同的解釋。這些解釋的差異非常的微妙,如果我想讓你了解什麼是「大的」、「亮的」、「自私的」,那麼我應該要讓你同時感受「大的與小的」、「亮的與暗的」、「自私的與不自私的」,否則你不可能掌握到那個詞的意思[10]。同理,倘若我要讓你了解「慣性」,那麼除非你能想像、理解沒有慣性的可能情況,否則你應該是不明白「慣性」的內涵。因此,讓我們來看看牛頓以前的慣性意義,接著再來了解牛頓所謂的慣性是什麼。有興趣的讀者,也可以參考我整理的另一篇資料〈慣性與動量概念的發展簡史〉。

1.亞里斯多德物理學:沒有慣性的時代

其實,要讓你短時間內了解所謂的「沒有慣性」,還真的是一件非常困難的事。因此,還請讀者耐心、仔細閱讀。首先,讓我們先試著忘記牛頓定律,讓我以亞里斯多德的角度粗略地「解釋」這個自然。詳細內容可以參考〈亞里斯多德物理學〉:

什麼是自然呢?這問題就好像是在問什麼是人,因為啊,人跟自然是非常相似的。你想想,你為什麼要努力讀書?不就為了考好大學嗎?你的所有行為都有目的。因此,自然也是這樣的。關於自然有好多東西可以談,其中最常見的非「運動」莫屬了。

如果你看見有個人花了三天的時間從他家來到我家,走了六公里。我問你,為什麼他做出在三天內走六公里的運動呢?倘若你回答我,這當然是因為他的平均速率是每天走兩公里,那我一定說 NoNoNo~!這不是廢話嘛,這只是換句話說罷了。真正的答案應該是,因為那個人想要過來我家啊!要不是因為他想來我家,他才懶得走勒。

所以,為什麼幾乎所有物體都會往下掉呢?這很簡單,因為他們都想要回到它們的自然位置,就像是它們的家。那又為什麼有的物體會飄起來呢?這也是因為它們的家在天上啊。那為什麼物體的家不在同個地方呢?好好好,別再問了,我一次回答你吧。

aristotelian physics five-elements

亞里斯多德的五元素自然觀

其實,這世界由五大元素組成,而每個物質都帶了點這些元素。上圖就是每個元素的所在位置。所以,物體都會有所謂的「自然運動」,從那個它不應該待著的地方,按照其主要成分的自然傾向地回去它應該待的「自然位置」。注意哦,我可不認為這種「自然運動」是物體受力所造成的。你想想,當你把地上的石頭拿起時,這塊石頭可是相當地不願意被你拿起來啊。這時他才受力了,因而做了「受迫運動」。所以,讓我整理一下吧:

運動有兩種,第一種是自然運動,物體不需受力,只需要按照其本性就可運動。第二種是受迫運動,物體是需要受力的。力量是使物體作受迫運動的原因。而且所有力量都是接觸力,無所謂超距力啊。畢竟,怎麼可能我現在往空氣揮一下,而你的頭就痛了呢?讓我舉個常見的例子再說明一下吧,當你把石頭丟出去時,照理來說,當它離開你的手之後它應該立即作自然運動直直落到地面上但為什麼沒有這樣反而做曲線運動呢

有人覺得這足以反駁我的理論,但我覺得不會啊。你想想,因為任何物體都是推來推去的,有被推的也有主動推其他物體的。那顆在空中飛的石頭不就是推了前方的空氣嗎?因為自然討厭真空,所以前方空氣立即繞回石頭剛佔據的後方空間,因而不小心造成了石頭的推力。你想想,你載女友騎車時,不也發現她的頭髮往兩邊分開嗎?這就是「石頭是因受到空氣的推力而運動的最佳證據啦!因此,所有物體都具有惰性;它們都想待在自然位置。

由於亞里斯多德認為除非物體因成份而作自然運動,否則力量才是使物體(受迫)運動的原因,所以沒有受力就沒有受迫運動,有受迫運動就必受力。這種觀點就是他的非慣性觀點

2.斐洛波諾斯衝力說:慣性的雛形

過了將近一千年,在這過程中有不少人質疑亞里斯多德的想法。西元 490 – 570 年的斐洛波諾斯(John Philoponus)認為亞里斯多德的說法非常牽強,畢竟空氣竟然從石頭的前方繞回來,同時扮演被推者與推者的角色?好吧,也許是有可能的,但斐洛波諾斯還是提出了自己的想法[11]

他說,其實被手丟出去的石頭,根本就不是因為空氣推它而作曲線運動。雖然物體作受迫運動時,像是你推衣櫥那樣,是需要一持續的作用力的,但其實物體在被力作用的同時也獲得了一種傾向、衝力(inclination),或者我們說一種無形體的衝勁Incorporeal motive),以使它離開任何使它運動的東西。因此,當手施力於石頭但仍未丟出的過程,也許經歷了0.8秒,在這0.8秒中,手給予了物體一種能夠離開手掌的傾向、衝力。他解釋道:「這個傾向衝力,是一種無形的、非物質的動力」。只不過,那為什麼物體沒有繼續往前呢,他獲得的衝力呢?他說,因為這種傾向衝力自己消散掉,所以物體最終是回到自然位置上了。

3.伊本·西納的修正:動量守恆定律的先鋒

根據[12],西元 980 – 1040 年的伊本·西納(Ibn Sīnā)認為其實由斐洛波諾斯提出的衝勁,並不是自發、憑空地消失,而是因為空氣造成的阻擋效果,使得衝勁被傳遞到空氣之中。就這意義上,伊本·西納或許可以說是動量守恆定律的先鋒。

4.牛頓的慣性定律:延時慣性與瞬時慣性

讀到這裡的讀者們,應該是可以感受到慣性概念逐漸建立起來的輪廓,從而理解,其實所謂的慣性就是,在當前理論架構下,物體的那種具有承載無形體衝勁的能力。也就是說,以解釋物體運動的理論架構而言,我們很清楚地看見亞里斯多德物理學中,並沒有預設這種衝勁的理論概念的存在,但是在接下來的思辨我們也看見了,倘若沒有這種無形體衝勁——或者我們說動量——的概念,我們很難承接著亞里斯多德物理學的脈絡,去改進它,使得我們的物理學可以解釋更多的自然現象。以這種理論被擴充的角度而言,我們的物理學逐漸地接受了無形體衝勁的這種概念,也就是因為這樣,慣性(Inertia)越來越具有真實性

以牛頓第一定律的延時形式(Temporal form)可以理解到,其實慣性定律的延時形式就是保有著、維持著上述提到的「無形體衝勁」所延伸得來的物質性質,只不過牛頓第一定律更進一步說明了,既然物體具有慣性,那麼倘若物體的衝勁(或說動量)改變了,那麼其原因就被稱為力量(force),牛頓進一步建立了物體除了慣性以外的——運動變化——的性質。

此外,牛頓第一定律的量化形式(Quantitative form)告訴我們物體會鍥而不捨地維持原本的運動狀態,但最後有成功嗎?其實並沒有,物體最終仍屈服於外力而改變了運動狀態,否則何須鍥而不捨呢?因此,量化形式暗示我們,物體具有著一種內在的特殊機制非常固執地堅持要維持某種東西——也就是其靜止狀態或勻速運動狀態。如牛頓所寫的:

…inherent force [vis insita] may be also called by the very significant name of force of inertia. Moreover, a body exerts this force only during a change of its state, caused by another force impressed upon it…

…或許我們可將物質的這種內在力稱為慣性力。此外,只有當物體正在因施加於其上的力量經歷狀態的變化時,物體才會施予這個慣性力…

因此,牛頓第一定律的量化形式讓我們掌握了物體變速時所呈現的慣性

假如物體不再鍥而不捨地維持原先運動狀態,那麼其速度就可以「想要多少就是多少」。

也就是說,在牛頓力學中,因為物體具有這種慣性,所以物體的運動狀態必定是連續地變化,而不會是如上圖那樣地不連續變化。

受力時,兩時間點越是接近其運動狀態的變化也就越小

進一步而言,這種變速時所呈現的慣性(力)並不是用以改變物體運動狀態的,而是用來描述那鍥而不捨維持原先的運動狀態的努力,是作為物體的基本性質——任何物體都有的——的一種內在力。因為這種慣性(力)是在任何變速瞬間都存在著的,為了強調這種分分秒秒試著維持原有運動狀態的特性,所以我特別將其稱為瞬時慣性。綜上所述,物體具有著兩種意義的慣性,如下圖所示。

  1. 延時慣性(T-form):物體在不受力時,確實展現出如同斐洛波諾斯與伊本·西納所設想的「無形體的衝勁」的樣貌。這種一直維持其原本運動狀態、維持其衝勁的性質/能力,動量始終保有在物體之中而沒有自發地消失(self-expending)的守恆性質(non-self-consuming one),就是物體的慣性。
  2. 瞬時慣性(Q-form):物體受力時,物體會鍥而不捨地維持原本的運動狀態,這種鍥而不捨維持原本運動狀態,但終究仍失敗的努力的內在力性質,是量化形式所呈現出來的慣性意義。

牛頓第一定律的延時形式(Temporal form)與量化形式(Quantitative form)對應的情況。

5.作為通往第二定律的橋樑:量化意義

以量化形式而言,我們可以看到它有著對中文而言相當不自然的說法:

以它不被…..的程度的努力,鍥而不捨地維持原先的…..

為了瞭解我們所謂的量化意義,我們先設想兩物體互撞的情境。可想而知,比較費力去維持運動狀態的物體,它的狀態變化率肯定是比較慢的。因此,用以維持運動狀態的毅力,其鍥而不捨的程度(persistance)顯然跟狀態變化速率呈反比:

$$\text{persistance}\approx\frac{1}{\text{rapidity of states exchange}}$$

上述這關係式僅呈現了量化形式的後半部分,它告訴了我們「鍥而不捨地維持運動狀態」的程度有多大。針對正在互撞的兩物體而言,它們各自的鍥而不捨地努力的程度(persistance)與狀態變化率成反比。另一方面,針對量化形式的前半部分,「以它不被…的程度的努力」,我們可以這麼想:假如這力量非常非常的大,那麼物體不被外力強迫的程度,當然就是零了!因此,當力量越來越小,那麼物體不被強迫的程度就也越來越大。也就是說,

以物體不被外力強迫改變狀態的程度的努力 ~ 以 $\cfrac{1}{\text{applied force}}$ 的努力。

換言之,所謂的

量化形式:每個物體都會以它不被施加於其上的外力改變狀態的程度的努力,鍥而不捨地維持在它的靜止狀態之中,或勻速運動狀態之中。

其實就相當於

$$\frac{1}{\text{rapidity of states exchange}}\propto\frac{1}{\text{applied force}}$$

也就是說,

運動狀態時變率正比於物體所受之力量。

而這就是我們所謂的牛頓第二定律了:

物體的動量時變率與其所受外力成正比。

結論

市面上常見參考書中的慣性定律,或多或少都偏離了牛頓最初的原意。而假如我們想盡可能了解牛頓當時提出慣性定律的用意,或許應該從其拉丁文的定律內容著手。根據 Krilov 與兩位原作者的努力,我們得知常見的慣性定律頂多呈現的物體的延時慣性,而沒辦法呈現物體正在受力時的瞬時慣性。此外,我們只能夠從牛頓第一定律的量化形式,推出牛頓第二定律的雛形。而也就是這種慣性力,解釋了物體的 $V-t$ 圖都為連續曲線的現象。下圖為倘若物體不具有「慣性」的可能的 $V-t$ 圖。

假如物體不再鍥而不捨地維持原先運動狀態,亦即牛頓第一定律的量化形式不再成立,那麼其速度就可以「想要多少就是多少」。


結語

這篇文章是我讀完〈Newton First Law – Text, Translations, Interpretations and Physics Education〉的心得,這份心得擺了大概三、四年了,都沒打好,因為這一切實在是太多了。雖然先前已完成這篇文章的八成內容,但最近還是花了大概十幾個小時才補齊許多細節。

作者於原始論文花了很多篇幅詳細說明對牛頓語意的考察,不管是從古拉丁文本身,還是從牛頓所處時代的文化背景,還是從牛頓本人的寫作習慣,基於這些考察,作者才能夠做出許多推論,而不是想怎麼說就怎麼說的推論。當然,第一定律的雙重互補版本也不是只有作者一人這麼看。我相信這對於許多讀者來說,應該是第一次看到物理學家(或物理史家?物理哲學家?)試著詮釋物理史的過程。這種類似國文課的說文解字,我認為對於要教出距今幾百年且語言並不一致的學問而言,是難以避免的,雖然這同時不免讓人感到不確定,不踏實,總之就是提供給有緣的讀者參考。對我來說,其實這篇論文篇幅還真不小,PDF 有 30 頁。裏頭提到了非常多精準的文獻分析與討論,非常鼓勵有興趣的讀者去找來讀一讀。我這篇網誌後面提到的慣性概念發展與兩種慣性意義詮釋,是我自己個人整理的資料與見解,並不是這篇論文中有特別提及的。除此之外,大部分其他內容全都是我從那篇論文中所學來,並用以自己的話重新表達、統整這些概念;原始論文的內容遠比這篇文章還要多很多。之所以分享這篇文章,主要是想提供給我們鮮少接觸物理史的台灣人,另一個看待牛頓第一定律的角度。事實上,我們的傳統物理教育中有著太多太多類似的地方,是有著許多值得更清楚仔細看待的空間的。無論如何,希望這篇文章能與讀者有些共鳴。


[1] Galili, I.(2003) & Michael T., Newton’s First Law: Text, Translations, Interpretations and Physics Education. Science & Education 12: P45-P73.
[2] 如果物體靜止的過程(亦即瞬時速度等於零的過程)也屬於等速度運動,那麼前面提到的「維持著靜止」就是贅字了。為了避免不必要的誤會,在此我還是將「靜止狀態」特地獨立出來,而這也是拉丁原文「statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum」的意思。
[3] 其英文翻譯為:Every body continues in its state of rest, or of uniform motion in a right line, until it has been compelled to change that state by forces impressed upon it.
[4] 恩斯特·馬赫也主張萬有引力根本就是不必要的概念,因為他可以很輕鬆地「避開」萬有引力去掌握描述自然規律。馬赫認為,物理定律不過是現象(感覺)彼此之間的「數學函數」,所以認為超出現象之外的概念—例如「力量」、「因果關係」、「實體」—在科學上並無其位置。據說,14世紀邏輯學家奧卡姆還使用他的剃刀反對「動量」概念的真實性/實在性。
[5] 請參考〈亞里斯多德物理學〉。
[6] 「等速運動」可能讓人產生此運動必為維持一段不小時間的運動,例如以相同速度運動五秒,我們稱之為「長時間的等速運動」。然而,在一瞬間內,瞬時速度必然變化很小,例如從 $5.000000\left.\mathrm{m}\middle/\mathrm{s}\right.$ 變化到 $5.000001\left.\mathrm{m}\middle/\mathrm{s}\right.$,因此任何的瞬時運動都可近似為「等速運動」,而這是「短時間的等速運動」。在時間上,牛頓的心中的運動狀態是佔據一瞬間的。
[7] 在命題邏輯裡,$(p\to q)$ 並不等價於 $(q\to p)$。例如,如果他是我爸,則他是男的。不表示,如果他是男的,則他是我爸。
[8] 英譯版的量化形式是”Every body preserves its state of rest or uniform motion in a right line, so far as it is not compelled to change that state by forces impressed upon it.”,與延時形式的英譯版相比,”Every body continues in its state of rest or uniform motion in a right line, until it has been compelled to change that state by forces impressed upon it.”,其實就能看出 “preserves, so far as (it is) not” 與 “continues in, until” 的相對關係。不過,如果直接翻譯量化形式,那麼結果是「任何物體都是鍥而不捨地維持它的靜止狀態或勻速狀態之中,以它不被迫改變狀態的程度的努力」。通常我們並不會將「以…程度的努力」放在句尾,所以我只好將它放在句中。
[9] 這是在我讀了蔡錦昌教授的〈一派胡言:台灣學術界的隱疾〉後,秉持著「西而優則中」的理念所作的翻譯嘗試,希望能更給出貼近原先的「慣性意義」且便於以中文理解的翻譯。
[10] 其實這點很有趣,跟「人都是自私的」有關係。想像有個特殊的世界,在這世界裡面只有一種顏色,那麼當你跟這世界裡的人說「這顏色好亮」時,他能理解你的意思嗎?除非他能想像不同亮度的顏色,否則根本不可能理解。但,他可以想像不同亮度的顏色嗎?問問你自己,你能想像完全不同於可見光的顏色嗎?同理,當人們宣稱「人都是自私的」時,他能想像不自私的人是什麼嗎?那麼對他而言,「自私」這個詞似乎是空泛無意義的了。如果你想要某部分的人的「特別自私」的情況,在那宣稱底下,你可能要自創一個新詞彙叫做「自私私」,然後用「自私私」討論各種原本我們用「自私」討論的人,這豈不是很荒謬嗎?所以,從這點來看,倘若有人宣稱「因為任何人都是自願或喜歡自己的行為,不論痛苦或快樂,因而才有所為,所以任何人都是自私的」,這種心理利己主義就是站不住腳的了。
[11] John Philoponus (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
[12] A. Sayili (1987), “Ibn Sīnā and Buridan on the Motion of the Projectile“, Annals of the New York Academy of Sciences 500 (1), pp. 477–482: “It was a permanent force whose effect got dissipated only as a result of external agents such as air resistance. He is apparently the first to conceive such a permanent type of impressed virtue for non-natural motion.”。


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關於〈所以,牛頓第一定律有什麼用?〉,寫得還可以嗎?

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關於 Ethan

我是高英倫,79 年次,桃園人,現居住於台北士林。台大物理系、化工系學士,目前就讀於台大電子工程學研究所,未來希望能朝向關於固態物理、半導體物理的研究前進。自 2008 年開始接高中物理家教工作,現已接過至少 65 位家教學生。教過國高中數學、物理、化學與大學的微積分與普通物理學。目前以教大學普通物理為主。關於物理教學研究,我興趣是物理史及其哲學,以及它們在教育上的應用。
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