什麼是 rad?

雖然有一堆主題可以寫,但最近實在太過忙碌,所以只好先挑簡單的來寫XD 很多同學一直都不清楚「弧度(rad)」與「度數(°)」的差別,因而容易有「π = 180」的想法,我覺得這樣是不太嚴謹的,所以我想稍微說明以下幾個問題:

  1. 為什麼一圈是 360 度,或者 360°?
  2. 為什麼一圈又是 2π 弧度,或者 2π(rad)?
  3. 度數與弧度的關係是什麼呢?

為什麼一圈是 360 度,或者 360°?

維基百科所言:「之所以採用360這數值,是因為它容易被整除。360除了1和自己,還有22個真因數(2、3、4、5、6、8、10、12、15、18、20、24、30、36、45、60、72、90、120、180),所以很多特殊的角的角度都是整數」,因此,平常使用的度數都只能呈現角度與角度之間的大小,例如你知道 90 度的角會大於 30 度,沒辦法將角度與其他物理量連結在一起;就好像在有絕對溫標以前,你只能知道水銀溫度計較高僅表示其溫度較高,而無法得出此溫度與微觀動能的關係。

因此,為了將「角度」與「其他物理量」—其實就是半徑與弧長—連結起來,我們使用了弧度這個單位。

為什麼一圈是 2π 弧度,或者 2π(rad)?

這世界有個我覺得非常奇妙的性質,就是不論圓形的面積為何,其圓周長與直徑的比例永遠是3.1415926 …..,而我們將這比例定義為 π!不知道我有沒有成功讓你感受到這個奇妙性質的驚奇所在?

circumference and diameter

因此,我們就利用這種特別的「圓周長與直徑」關係,或者說「圓周長與半徑」的關係,我們定義所謂的「一弧度」,亦即「1(rad)」為:

當弧長等於半徑,此時的角度為 1 (rad)。

definition of 1 radian

因此,我們就能夠將角度與「世界」連上關係,而不再像是以前的度數,它與我們的「世界」毫無關聯;弧度能連結半徑與弧長,但度數不能。例如:

  1. 一輪胎往前滾 50(cm),其半徑為 80(cm),請問其轉動角度為何?這答案就是弧長除以半徑,或說弧長與半徑的「比值」,也就是 50(cm)/80 (cm) = 0.125 (cm/cm) = 0.125 (rad)
  2. 已知一物繞原點作運動,其角位移為 2.5 (rad),並且離原點距離始終為 10 (cm)。請問此物體之路徑長為何?由於它與原點距離為定值,所以它正在作圓周運動。因此,其路徑長具有「弧長」的意義。由角位移 2.5 (rad) 與圓周半徑 10 (cm) 可推得弧長為 2.5 (rad) x 10 (cm) = 2.5 (cm/cm) x 10 (cm) = 25 (cm)。

由於弧度的定義是弧長與半徑的比值,所以弧度的單位,rad,也就是兩長度單位的比值。有的時候我們又會說它沒有單位,而這只是因為兩個長度單位可以消掉變得沒有單位。根據國際單位制導出單位,弧度的國際單位制表示法為:

rad = m/m

舉例而言,若物體每秒角位移為 ⍵ = 3 (rad/s),那麼根據國際單位制,我們又能改寫為 ⍵ = 3 (m/m)/s。若將兩個長度單位消去,就會得到 ⍵ = 3 (rad/s) = 3 (1/s) = 3 (Hz)。因此,角速度又叫做角頻率

度數跟弧度的關係是什麼呢?

它們的共通點就是它們描述的對象都是「角度大小」,因此,我們可以說:

360° 對應到的角度大小,就是 2π(rad) 對應到的角度大小。

這概念相當於:

100 (cm) 對應到的長度,就是 1(m) 對應到的長度。

因此,我們可以說:

360° = 2π(rad)

值得注意的是,我們必須在 360 後方加上°,用以強調它是另一種角度單位。倘若沒有加上°,那可能會讓人誤以為 2π(rad) 等同於 360 的數字,就好像 3(m) = 100,這是不妥當的。甚至有人也會跟著省略 (rad),變成了 2π = 360。然而,這就又會使人忘記 π 本身就是個數字,而且不等於 180。

我們就能推出以下這兩個關係:

1° = π/180 (rad) = 0.01745 … (rad)

1 (rad) = 180/π ° = 57.296°

也就是說,以前為了方便整除而制定的 1°,其張開的弧長與半徑的比值會是 0.01745 …。又或者,現今制定的 1(rad) 相當於過去的 57.296°!


關於《什麼是 rad?》,寫得還可以嗎?

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