到底什麼是瞬時速度?

常見的瞬時速度說法——極短時間下的平均速度——讓我不甚滿意,所以我想在這篇文章,以我自認正確的極限觀念,好好說明究竟何謂瞬時速度。倘若你是學生,那你可能會對於這麼長串的推論感到不耐煩。不過,以比較強烈的用詞來說,這些推論本身才是物理,而不是一般人心中的「充滿數學形式」的物理。瞬時速度中的極限意義,大概是所有同學接觸「極限」觀念的第一個場合。倘若你能掌握極限觀念,那麼你接著就可重新去感受所有建立於瞬時速度概念之上的物理量,例如加速度、動量、衝量、力量,甚至是質量與能量。此外,有非常多的極限概念出現在各個學門中。任何需要計算幾何面積的學門,都會需要極限概念——這就是我們定義面積的方式。因此,如果你能在這篇文章中就清楚掌握究竟何謂極限,那麼這可真是一勞永逸。而理解極限概念的前提——以瞬時速度為例——就在於先認清底下事實:

正如同很帥的肥宅終究還是肥宅,倘若瞬時速度就是極短時間下的平均速度,那麼瞬時速度也還是平均速度,有說跟沒說是一樣的——畢竟,沒人有辦法回答極短究竟是多短」。


雖然我尚未研究速度概念的發展歷史,但我認為,速度概念不外乎是為了描述運動而產生的,畢竟這就是運動學的意義。

(摘自維基百科——運動學

「在開始研討經典力學時,很自然地應該先思考各種可能的運動樣式,而暫時不將任何造成運動的因素納入考量。這初步探詢的知識就是運動學的學術領域。」

— 愛德蒙·維特克,質點與剛體分析動力學通論

 

因此,讓我們來看看,倘若我們沒有速度的概念,那麼我們是如何比較運動快慢的?藉由這樣的探討,我們不難發現速度之所以有如此這般定義的原因。

接下來第一節的論證勢必會讓幾乎每一位讀者都感到沒有什麼意義,但這是因為我們太過於熟悉「重疊原理」以及「速度」相關的操作。因此,對於已學過「平均速度」概念的讀者,我覺得的確是可以跳過底下這段,直接進入第二節——瞬時速度的意義。不過,我覺得底下內容還是值得各位一讀的。至於尚未學過「平均速度」概念的讀者,我就滿推薦你看看我的第一節內容囉。

目錄


一、速度概念的起源與基礎

設想甲在 2 秒內跑了 6 公尺,而乙在 5 秒內跑了 14 公尺,那請問誰跑得比較快呢?直覺上,我們不會僅僅因為乙跑的距離比較長—— 14 公尺大於 6 公尺,而說乙跑得比較快。這是因為,所謂的「快」應該是指「在相同時間距離(簡稱時距)中,跑得距離比較遠」的情況。然而,很遺憾的是,它們所經歷的時間不一樣長。甲只跑了 2 秒,而乙卻跑了 5 秒。無論如何,你都無法知道如果你讓甲跑 5 秒,或者,只讓乙跑 2 秒,兩方所分別會跑的距離是多少。

跑者 時距 移動距離
2秒 6公尺
5秒 14公尺

不過,我們接著要來進行下一步推理了。我們似乎根本就不需要知道,如果甲真的跑了 5 秒,那麼甲將會跑的距離。這是因為,我們在乎的不是甲這個人的運動快慢,而是甲在這兩秒中的運動快慢。換言之,我們不難發現,底下的運動都是一樣快的:

運動情境 時距 移動距離
A 2秒 6公尺
B 4秒 12公尺
C 6秒 18公尺

我們可將 B 的例子視為連續經歷兩次 A,而將 C 的例子視為連續經歷三次 A。也就是說,如果我們以「 A 的運動快慢」持續 4 秒,那麼我們必然可以得出它在第一段 2 秒會走 6 公尺,而在第二段 2 秒也是走 6 公尺,所以總共走 12 公尺,使得它形成了在 4 秒內走 12 公尺的現象。

運動情境 時距 移動距離
A 2秒 6公尺
B 4秒 = 2秒 + 2秒 12公尺 = 6公尺 + 6公尺

因此,我們說 A 與 B 的運動情境是一樣快的。之所以會如此強調,是因為我們似乎沒辦法由此推得,以 A 的運動快慢為基礎,此跑者在 1 秒內會行經多少距離[1]。由上述論證可知,甲「在 2 秒內跑 6 公尺」的運動快慢,相當於[2],甲「在 10 秒內跑 30 公尺」的運動快慢,並得出下表。

跑者 時距 移動距離
2秒 6公尺
甲的等效運動 10秒 = 2秒 × 5 30公尺 = 6公尺 × 5
5秒 14公尺
乙的等效運動 10秒 = 5秒 × 2 28公尺 = 14公尺 × 2

因此,我們成功地得出兩個結論:

      • 倘若以在相同時距內運動,並要求甲、乙皆以相同的運動快慢跑步,那麼甲必然跑得比乙還要遠。因此,我們宣稱甲的運動比乙還要快。
      • 對任何實際運動而言,我們發現,藉由將運動疊合的方法,我們可得出無限多個相同快慢的運動。而這這無窮多種運動的共通點就是它們具有相同的運動快慢

不過,如果我們總是以取經歷時間的最小公倍數的方法,來計算各運動之等效運動,接著再比較各自行走距離,這就太過於麻煩了。例如:

運動情境 時距 移動距離
D 3秒 2公尺
E 7秒 3公尺
F 11秒 6公尺

進一步而言,我們甚至因為無法理解何謂「非整數個」等效運動[3],而必須以乘上十倍甚至百倍的方式來為底下運動找出其相對應的等效運動。

運動情境 時距 移動距離
G 2.1秒 6.5公尺
H 4.3秒 10.1公尺
G的等效運動 21秒 = 2.1秒 × 10 65公尺 = 6.5公尺 × 10
H的等效運動 43秒 = 4.3秒 × 10 101公尺 = 4.3公尺 × 10

在放大十倍後,還要再找它們的最小公倍數以比較行走距離,最後才得出運動快慢的相對大小關係。這實在是太過於麻煩,於是,我們進一步來思考,有沒有可能找到一個更簡單的運動快慢比較方法?如果我們將所有物體運動的時距都變得完全相同,那就實在是太好了。那我們該讓所有運動情境的時距變成多少呢?答案很明顯的,就是 1。不過,我們還有些思想工作要做。

以甲於 2 秒內移動 6 公尺為例,倘若我們想知道,這樣的運動快慢相當於 1 秒移動多少公尺,那我們可先假設甲於 1 秒內移動 D 公尺,藉由相同的運動快慢,我們可得知甲於 2 個 1 秒內,必須移動 2D 公尺之距離。由此可得 2D = 6,因此,D = 3。

運動情境 時距 移動距離
2秒 6公尺
甲於1秒內的等效運動 1秒 D公尺
甲於2秒內的等效運動 2秒 = 1秒 × 2 2D公尺 = D公尺 × 2

由上述的方法,我們可以宣稱:

在 a 秒內移動 b 公尺的運動快慢,等同於,在 a × C 秒內移動 b × C 公尺的運動快慢。其中,C 屬於任何大於零的實數(等比例放大縮小)。

既然我們已成功證明上述命題,那接著就能進一步作出底下宣稱:

a 秒內移動 b 公尺的運動快慢,等同於,在 1 = a × 1/a 秒內移動 b/a = b × 1/a 公尺的運動快慢,即在 1 秒內移動 b/a 的距離的運動快慢。

於是,從今以後,我們就可以更快速、簡便地比較所有運動的快慢。因此,今後我們只需表達、比較所有運動於 1 秒內移動的 b/a 等效距離,而這個特殊的「 b/a 等效距離」就是所謂的速度。值得一提的是,這個 b/a 等效距離是將物體運動等效於 1 秒內的移動距離。因此,我們將物體之速度定義為:

物體於 a 秒內移動 b 公尺的速度為 b/a (公尺/秒)。

為了讓描述運動快慢的術語更為精確,我假設物體只能在左右方向運動。也就是說,物體只能在一數線上移動。

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接著,我們說物體的位置由 x 座標描述。x = +5 表示物體位於原點右方 5 單位,而 x = 3 表示物體位於原點左方 3 單位。此外,我們接下來介紹一個科學中,最重要與常見的符號——用以表示數量變化的變化符號 Δ。例如,我們怎麼描述物體由 x = +5 移動至 x = – 3 的位置變化呢?首先,為了表示「一開始」與「後來」,可以在 x 的右下角註記「一開始」的英文 initial 的縮寫 i,亦即 xi。以及在 x 的右下角註記「後來」的英文 final 的縮寫 f,亦即 xf。因此,我們說物體在這段過程中的位置變化為[4]

同理可得,我們說物體在這段過程所經歷的時間為:

以下為一些例子:

 物體 時距 初位置 末位置 位移 物理意義
A 2秒 xi = + 3 xf = – 9 Δx = -12 向 x 軸負向移動 12 單位
B 1秒 xi = – 5 xf = +1 Δx = + 6 向 x 軸正向移動 6 單位

由此,我們的階段性任務就達成了。對於速度,更加完備的數學表達方式為:

接著就進入咱們的重頭戲——瞬時速度。

二、究竟什麼是瞬時速度?

了解一個學術概念之意義的最佳方式,無非是了解我們是基於什麼需求,而發展出這個概念。換言之,一個概念的意義價值或說用處往往是滿足了理論上的某個需求。進一步來說,我們剛才發展出的速度概念是不足以讓我們精確描述物體運動情形的!為什麼呢?因為我們沒辦法描述運動快慢的變化快慢(即加速度概念)。請見下例:

時間(t) 位置(x) 速度(v)
0 (s) 0 (m) v1 = 3 (m/s)
1 (s) +3 (m)
4 (s) +10 (m) v2 = 5 (m/s)
6 (s) +20 (m)

如果我們想進一步問,上述速度的變化快慢為何,那我們該怎麼算呢?我們應該會預期以下概念:

讓我們看看,這物體花了多少時間,由多少的速度,變化至多快或多慢的速度。

因此,我們應該會想知道,這個物體花了多少時間,由 V1 = 3 (m/s) 的速度,增加到 V2 = 5 (m/s),亦即產生 +2 (m/s) 的速度變化

下一個問題就是,該如何決定這速度變化的時間呢?既然 V1 是由 t = 0 ~ 1 (s) 所測量出來的、V2 是由 t = 4 ~ 6 (s) 所測量出來的,那麼我們是否能都以”時程終點”—— 1 (s) 與 6 (s) ——作為此物體經歷此速度變化 ΔV = +2 (m/s) 的時間起點與終點?如果我們做出如此選擇,那勢必會有人認為:可是,那為何不以時程中點—— 0.5 (s) 與 5 (s) ——作為起點與終點?我們有什麼好理由使我們必定要取時程終點作為加速的時間起點與終點呢?更進一步而言,就算我們真有所謂的好理由選取時間終點為加速的時間起終點,那我們又有什麼好理由相信,t = 1 (s) 時,物體的速度真的就是  v1 = 3 (m/s)? t = 6 (s) 時的速度也會使人有同樣的疑惑。畢竟,如果我們數據測量得更仔細一點,或許會得到底下結果。

時間(t) 位置(x) 速度(v)
0 (s) 0 (m) none
0.5 (s) +3 (m) v’1 = 0 (m/s)
1 (s) +3 (m)
4 (s) +10 (m) none
5 (s) +20 (m) v’2 = 0 (m/s)
6 (s) +20 (m)

從上表可知,其實這物體早在 t = 0.5 (s) 就已到達 x = +3 (m)。因此, t = 1 (s) 的速度似乎應該是「零」才對。當然,我們也同樣可以質疑,或許物體在 t = 0.8 (s) 時移動到 x = +9 (m)。因此,t = 1 (s) 的速度似乎應該是負值才對!

由上述討論可知,我們似乎永遠都無法說清楚,到底什麼才是 t = 1 (s) 的速度?不過,我們至少相信,相較於最初的 t = 0 (s) ~ 1 (s),藉由較小時距—— t = 0.5 (s) ~ 1 (s) ——所算出的速度是比較接近我們心中的理想的 t = 1 (s) 時的速度。至少,這會比較接近 t = 1 (s) 附近的運動快慢。因此,我們得出以下結論:

由 t = 1 (s) 起開始計時,並測量物體的移動距離。越短時距內的速度越接近 t = 1 (s) 時的速度

藉由代數,我們可得出更廣義的寫法:

由 t 開始計時 ,越短時距下所計算出的速度,越接近 t 時的速度

或者,更嚴謹來說,我們應該將上述結論改寫為:

所謂的 t 時的速度到底是什麼?就是當我們縮短時距時,這些計算出來的速度所跟著接近但卻永遠到不了永遠不夠近的值

而上述「t 時的速度」就是俗稱的於 t 時的瞬時速度」。至於先前我們一直掛在嘴邊的「速度」,此時就可以將其名稱改為「平均速度[5],用以區分瞬時速度。接著,讓我來舉例說明一下。假設物體於 x 軸上的位置與時間的關係為 x = t2 + 3t,那麼其於 t = 1 之後的位置與時間關係如下表。

時刻(t) 位置(x = t2 + 3t) 由 1 秒算起之平均速度(Vavg[6]
1 (s) 4 (m) none
1.1 (s) 4.51 (m) 5.1 (m/s)
1.01 (s) 4.0501 (m) 5.01 (m/s)
1.001 (s) 4.005001 (m) 5.001 (m/s)
1.0001 (s) 4.00050001 (m) 5.0001 (m/s)
…. ….
None None[7] V(1) ≡ 5 (m/s)[8]

我們不難發現,隨著末時刻越來越接近 1 秒(但仍大於 1 秒),或者,隨著時距(Δt)往 0 接近——但永遠不等於 0 (s) 且大於 0 (s) ——物體於這段過程的平均速度就也跟著往 5 (m/s) 接近,但永遠都不等於 5 (m/s)。因為我們觀察到在時距(Δt)趨近於 0 (s) 時,平均速度就也趨近於 5 (m/s),所以我們將 5 (m/s) 命名為此物體在 t = 1 (s) 時的瞬時速度。因為平均速度永遠不等於 5 (m/s),所以瞬時速度不可能是平均速度,而是平均速度所接近的值。綜上所述,我們得到瞬時速度的數學定義式:

其中,「lim」是 limit(極限)的縮寫,表示「於 “lim” 右邊這項在 lim “底下的”極限條件下(tf → ti),會跟著靠近的數值」。此外,若我們將 tf – ti 改寫為 Δt,那麼因為 tf 往 ti 靠近時,Δt 就跟著靠近 0 (s)。因此,我們又可以將上式改寫為:

此時此刻,我們就可以理解我們心中的「1 (s) 時的速度到底是什麼意思了。接下來我想換個方式,用 x-t 圖跟讀者介紹上述表格中的「趨近於 5 (m/s)」是什麼意思。

三、平均速度與瞬時速度的幾何意義

(圖一)

如上圖一,如果在圖中的藍色 A 線取三個運動過程,那麼我們藉由幾何學中的相似形概念可以得知底下三式會相同。進一步而言,倘若一物之運動於 x-t 圖上呈現直線,那麼表示在該物體運動過程中,任何過程的平均速度都相同。

此外,由藍色 A 圖過程橘色 B 圖過程可知,因為它們的時距相同,所以很明顯地,位移越大者,其平均速度越大。因此,我們可由兩直線的傾斜程度——又稱為斜率——來判斷何者平均速度較大。緊接著,我們將用斜率的概念來了解瞬時速度的幾何意義。

(圖二)

如圖二所表示的,倘若以 ta 開始計時,那麼當時距越來越短(亦即時間終點由 te 向左移動至 tb)時,其斜率越來越大。由於這些「線條」是由 x-t 圖上曲線之 2 點所連之線,所以我們稱之為「割線」。仔細觀察當代表著 a-e 間之平均速度的藍色割線,逐漸變成代表 a-b 間平均速度的藍色割線的趨勢,我們不難發現,倘若時距繼續縮短那麼這些割線會持續地往a點上之紅色直線靠近但永遠到不了。而且,這是「要多近就有多近」。如同先前的表格中的平均速度,想要平均速度與 5 (m/s) 有多接近,就有辦法找到一個夠小的 Δt,使得平均速度與 5 (m/s) 有那麼近。由於這條紅色直線是所有過 a 之割線所逼近但到不了的直線,所以我們稱之為「切線」。而這條切線的斜率就剛好會是 a 點的瞬時速度。此為瞬時速度的幾何意義。

四、瞬時速度的計算方式

那麼,一般來說,我們該如何計算物體的瞬時速度呢?基本上,我們需要一系列的、非常短的時距下的平均速度,並由此觀察這些平均速度的變化趨勢。也就是說,理論上,我們需要位置與時間的函數 x(t)接著才可能計算出物體的瞬時速度。讓我們以 x(t) = t2 + 3t 為例,並試著計算出 V(1) = +5 (m/s),我們的步驟如下:

      1. 以代數 tf 表示末時刻,計算出從 ti = 1 (s) 運動至 tf 的平均速度為何。
      2. 將 tf 往 ti = 1 靠近,觀察其平均速度會往什麼值靠近,此即為 t = 1 (s) 的瞬時速度。

第一步如下:

值得注意的是,因為 tf 不等於 ti,所以 tf -1 不等於 0。因此,分子分母可共同約掉一個 (tf – 1) 的公因式[9]

接著是第二步,讓我們將 tf 往 ti 靠近,即可得 ti = 1 (s) 時的瞬時速度。

其中,「tf →1+ 」是指末時刻從 1 的右方(亦即 tf > 1)往 1 靠近。而第二個等號右邊的 1 + 4 的意義,並不是說平均速度為 1 + 4 = 5,而是在說,當 tf 由 1 的右方向 1 靠近時,平均速度會接近的值。

五、總結

瞬時速度並不是在很短時間內的平均速度,而是在時距趨近零時,平均速度所跟著接近的值。瞬時速度是作為一個分數的「極限值」而存在著的。此外,我們也可由 x-t 圖來了解瞬時速度的意義。瞬時速度從來都不是在極短時距內的割線斜率,而是被通過該點的其他割線所無窮逼近但卻永遠到不了的切線。最後,如果要利用瞬時速度的極限定義計算它的值,那必須有物體的位置與時間之數學函數才能算出來[10]


[1] 其實是有辦法的,待會我們就會提到這個方法。
[2] 因為許多人往往會將「等效模型」、「等效情境」、「類比模型」等相似的概念視為「等同」,進而混淆非常多概念,所以我對於「相當於」的概念特別重視。相關想法還請讀者參閱我的〈「相當於」的等效意義〉文章。
[3] 很多人認為,可以直接為「在 2 秒內走 3 公尺」的運動情境,將所經歷的時間與行走的距離除以 10,就得出「在 0.2 秒內走 0.3 公尺」的等效情境。但其實這只是恰好結果成立,但論述過程站不住腳的做法。理由是,我們此時無法說明「除以 10」所代表的「十等份」與「相同的運動快慢」具有著什麼樣的關係。我們之所以對於這樣的乘除法操作感到理所當然,無非是我們太習慣處理具有重疊原理的物理性質。然而,並不是所有物理量都具有重疊原理。例如,若電場強度為 a 時之電能密度為 a’,電場強度為 b 時之電能密度為 b’,那麼電場強度為 a+b 時之電能密度就不會是 a’ + b’。
[4] 這裡有用到一個「≡」符號,這叫做「定義」。例如,當我寫下「Δx ≡ xf – xi」時,是在告訴我們,從這一行開始,我們接下來看到「Δx」時,必須將它理解為「xf – xi」,而不是其他的意思。這跟「換句話說」、「縮寫」有點相似,但這裡強調的是,我們用一個新的簡便符號去表達複雜概念的意思。然而,「Δx = +9」中的等於「=」符號則是指,在這符號之前,我們已經知道「Δx」的意思是什麼,只是在此時此刻,它的量值等同於 +9。(你會發現,我一直用”等同於”、”換句話說”、”也就是說”去解釋”定義”、”等於”的意思。某種程度來說,我這樣似乎沒有解釋到。有興趣的人可以看看王文方老師出的《形上學》中的等同議題。)
[5] 所謂的「平均速度」,顧名思義,就是平均每 1 秒物體移動的位移。例如,倘若有物體在 5 秒內移動 +8 (m) 的位移,那麼平均 1 秒就有 + 1.6 (m) 的位移。值得注意的是,這裡的「平均」並非將兩個或多個速度加起來並取平均的意思!
[6] Vavg 的下標 avg 是「average」的縮寫。物理量的代號經常會使用縮寫的方式來更準確地表達一些概念。
[7] 這意思是,不論時距(Δt)有多麼接近 0 (s),我們都找不到一個時距(Δt),使得其平均速度洽等同於 5 (m/s)。
[8] 也許有讀者會問,難道所有「瞬間」的「瞬時速度」都存在嗎?換言之,有沒有可能,隨著時距(Δt)接近 0 (s),物體的平均速度反而沒有往任何一個值靠近?再者,就算我們藉由前面幾項而觀察出物體的平均速度確實有往 5 (m/s) 靠近的現象,但我們該如何證明這在後面幾項也會有這種「趨勢」呢?這些更進一步的問題,就需要所謂的「ε-δ 極限定義」。詳細內容,我滿推薦讀者閱讀《微積分之屠龍寶刀-笑傲極限、連續、導數、積分法》這本書籍。
[9] 通常都是遇到可以消掉的狀況。如果消不掉,而需要花時間研究該怎麼求極限,那就是在學數學而非學物理了。
[10] 實務上,我們只能測量到特定時間上的位置,而無法連續第記錄物體的位置與時間的關係。此時我們就得依靠曲線擬合的技術來得到物體的位置與時間的關係函數,如下圖。

此為 Tracker 物理分析軟體中的”曲線擬合”示意圖。


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關於 Ethan

79 年次,桃園人,現居住於台北士林。台大化工系、物理系學士,目前就讀於台大電子工程學研究所。自 2008 年開始接觸高中物理家教,現已接過至少 62 位家教學生。教過國高中數學、物理、化學與大學的普通物理學。致力於學習大量知識並同時貢獻於社會。近年關注的社會議題主要為教育、物理教育、勞基法修訂與工會成立議題。此外,我的研究興趣是物理史及其哲學,以及它們在科學教育上的應用。未來想學習法文、拉丁文與德文,以供我研究物理史與增廣見聞用。

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到底什麼是瞬時速度? 有 4 則回應

  1. 訪客 說道:

    不好意思,裡面有兩處字樣「旅程終點」
    是不是要改成旅程中點比較好?不知道是不是筆誤呢?

    • Ethan 說道:

      您好,感謝您的發問!您是底下指這一句嗎?

      「可是,那為何不以時程中點—— 0.5 (s) 與 5 (s) ——作為起點與終點?」

      這句的時程”中”點是指,0.5(s) 是 0(s) ~ 1(s) 的時程中點,而 5(s) 是 4(s) ~ 6(s) 的時程中點 😀

      這段落確實打得比較不清楚,大意是說我們要如何判斷這速度變化經歷了多少時間?其實光是這「速度只不過是平均速度」而言,就足以讓我們無法討論下去。畢竟,0 ~ 1 秒的平均速度,怎麼能夠說成是 0 秒的速度,或者怎麼能夠說成是 1 秒的速度呢?大概是這意思 😀 希望有幫助到您!如果還是不太清楚,可以再留言詢問 🙂

  2. 訪客 說道:

    原來如此,的確是有點不太清楚,但至少大概有抓到意思~
    再次感謝回答!~

    • Ethan 說道:

      不好意思,有時文章打到後面,耐心越來越少,哈哈。所以漸漸打得比較不清楚。如還有疑問,也還是非常希望你能前來留言哦,再次謝謝你的光臨~

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