「相當於」的等效意義

這篇主題看起來有點莫名其妙,但這確實是我始終覺得有必須特地寫篇文章加以說明的主題。很多時候,我們都會用到「相當於」的概念,但並不都是很顯而易見,例如:

  • 針對作等速率圓周運動的物體,仔細觀察它在一時距內的初速、末速與速度變化,會發現當時距很接近零時,速度的變化向量「相當於」垂直初速、末速向量。
  • 一個在地表上作斜向拋射的物體(設阻力可忽略),根據運動獨立性,「相當於」一個平行地表作等速直線運動的物體,以及一個作鉛直上拋的物體的(合成)運動。
  • 桌上的 Macbook 的合力,由於它總是靜止不動,所以「相當於」零。
  • 這椅子受到的正向力與萬有引力「互相抵消」。
  • 車子急煞車時,你突然相對車子往前動,這「相當於」你受了往前的力,稱為假想力。
  • 一個正在作錐動擺的物體,因為「受到向心力的作用」,所以它作圓周運動。
  • 地球與月球的萬有引力,「相當於」它們質心之間的萬有引力。
  • 導線就「像」水管,電流就「像」水流,電壓「相當於」水壓,電阻與導線面積的關係「相當於」用水管噴水時用點力以握緊水管一端,讓水噴得比較遠(流體力學的連續方程式)。

如果同學解題”順利”的話,應該是不會注意到「相當於」可能造成的各種混淆,但沒注意到並不表示你的觀念「沒有被混淆」,所以我想藉此篇文章釐清「相當於」的意義。

一、「相當於」的意思為「可近似為」

就我觀察,我只發現剛才提到的第一個例子而已。

針對作等速率圓周運動的物體,仔細觀察它在一時距內的初速、末速與速度變化,會發現當時距很接近零時,速度的變化向量「相當於」垂直初速、末速向量。

關於這說法可能在成的混淆,我已在《向心加速度與瞬時速度垂直嗎?》說明了,所以在此就不再多作解釋,比較值得注意的是第二種意思。

二、「相當於」的意思為「等效於」

我們經常為了方便思考而將複雜情境等效為簡單情境,甚至大膽地進行類比推論。前者與後者都往往讓我們混淆「真」與「假」。亦即「實際狀況」是什麼?而等效後的「便於思考的模型與情況」又是什麼?導致許多同學,甚至還有老師,都變成了差不多先生,積非成是。

(圖一)甲乙分別施予繩的力,如果這個力是指牛頓力學中的力,那麼資料並不足以計算。

(圖一)甲乙分別施予繩的力,如果這個力是指牛頓力學中的力,那麼資料並不足以計算。

牛頓定律中的力量越大,就表示肌肉施力越大。因此,假如甲與乙兩人拉著一條繩子玩拔河時,甲「感覺」施出了20(N)的水平力,乙「感覺」施出了30(N)的水平力,並且繩子正在以極慢速等速靠近乙,那麼繩張力即為50(N)[1]

不僅如此,由於老師往往利用常見於生活的例子來教學,幫助同學記憶。但這種「生活實例」背後的「類比推論項」卻總是非常模糊不清,以至於「把那些不該類比的東西也跟著類比了」。

由於導線就是水管,而當我擠壓水管時,水會流得更快!因此,面積越小的導線,電流越大[2]

如果要把物理教學中常見的等效造成的概念混淆與各種類比謬誤都列舉出來,那可能要花上非常多的時間。所以,我只在這裡說明等效與類比的意義,並舉些比較常見的例子加以說明,希望能使讀者有舉一反三的能力。

所謂等效,顧名思義,就是兩個可人為觀察的現象(效果)是相同的。然而,當我們觀察到一個現象時,我們往往不只是觀察現象本身。例如,媽媽看見你這次又考了80分。雖然之前你也是考80分,但也許這次比較難,所以這次的「80分」相較之前的難度,可能是「90分」,所以媽媽應該給你更高的評價。或者你交了一個網友作朋友,但你爸總是看到網友誘拐未成年少女的新聞,所以認為你的網友一定也是會誘拐小孩出去的壞人。雖然他觀察到了兩個相同的現象(兩人都是網友),但不代表關於這兩個網友的其他事實都相同。同理,雖然馬英九、陳水扁都當過柯文哲的職位—台北市長,但並不表示,他們不僅在這個經歷上相同,而且待人處世、做事原則與道德原則都相同。總而言之,在我們觀察到現象之後,我們必須阻止自己過度推論、臆測或聯想,必須以實事求是的精神去作判斷。

除此之外,原則上,我們都會預設「凡事必有因」,所以導致某現象的事件即為原因,而該現象即為其原因的結果。因此,我們除了要避免對關於現象的「其他可能現象」進行過度臆測以外,對人的動機或促成該現象的原因,也要小心謹慎地推理。許多社會現象之間的關係不是因果關係,而僅僅是「正相關或負相關」而已。

在物理學裡,我們分析得最透徹的現象非運動莫屬了。而促使運動的原因,在牛頓力學裡,就是力量。所以,我們很多時候說的「相當於」、「等效於」,其實是指:

它們作相同的運動,但是否來自相同原因(是否受相同的作用力),則是另外一回事。

1.關於運動的等效

例如斜向拋射的運動獨立性,我們可將斜拋等效為水平等速運動與鉛直上拋運動,但其實它們都只是一種思考技巧、撇步;有利於我們寫出水平與鉛直分量的等加速度運動公式,而不直接使用多數學生仍不熟悉的向量。

2-1.關於受力的等效—力量的合成性質

牛頓第二定律的數學式是:

必須澄清的是,物體實際上受到的力量是 F1、F2、…、Fn,而非 Fnet。當我說停在路邊的車子受力為零時,不表示它沒有受力,其實力量仍然是存在的。

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(圖二)儘管物體合力為向右 2(N),但物體實際受力仍然是向右 5(N) 以及向左 3(N)。

一物體受向右 5(N) 的拉力以及向左 3(N) 的拉力時,其運動「效果等同於」物體只受向右 2(N) 的力而運動。

但其實物體是受了兩個力量,就是向右的 5(N) 與向左的 3(N);向右 2(N) 的力只是「等效力」,而非「實際力」。

2-2.關於受力的等效—力量的分解性質

力量的分解也是常見的等效應用。通常是為了方便分析物體的受力情況以解釋當前運動,或者透過可能受力情形以預測未來的可能運動。(圖三)是一常見例子,此外,作等速率圓周運動的物體也經常將力量分解為垂直、平行速度的分量,用以計算向心力與切線力。但無論如何分解,雖然「分解後的力量」對物體產生的效果雖然等同於「未分解的實際力量」造成的效果,但「分力」始終是假的力。

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(圖三)一物在光滑斜面上,為了方便分析,我們往往將左邊的實際力圖改畫為右邊的等效力圖。

2-3.關於受力的等效—向心力與合力的關係

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(圖四)上半部分為實際受力圖,下半部分為依分析的目的而作的等效力圖。

如圖四,藍箭頭皆為物體實際受力,但為了某些原因,我們會將受力等效為紅箭頭。針對左半部份的斜拋,我們可藉由當時的瞬時速率(v)與飛行方向(θ)決定其瞬間的曲率半徑;至於右半部分的功能就不再贅述。

只不過,由於合力垂直於速度的分量經常用到,所以它有個特殊名稱—向心力。因此,向心力只不過是合力(等效力)的等效力,實際上是根本不存在的。例如右半部的錐動擺,向心力本身就是合力的分量,其真實性遠不如繩張力與重力。

  1. 作用於物體上的N個實際力等效為「一個合力」
  2. 「一個合力」再等效為「切線力」與「向心力」

以(圖四)的左例—斜向拋射—而言,物體的實際力即為重力(mg),而重力又恰好是合力。因為合力彷彿真的存在,所以此時的「等效力」就沒什麼意義。接著,合力(mg)就可等效為平行速度的切線力(mgsinθ)與垂直速度的向心力(mgcosθ)[3]。此時這兩個力都是假的,就這意義上而言,它們是假想力,儘管「假想力」的名稱已另有用途。

以(圖四)的右例—錐動擺—而言,物體的實際力即為繩張力(T)重力(Mg),所以合力即為後來的紅箭頭(Fnet)。不過,此時的合力由於恰好垂直於瞬時速度方向,所以本身即為向心力。值得注意的是,向心力也只是一種假的力量、等效的力量,本身並不存在;如同(圖二)中的「向右 2(N)」的力。因此,倘若要問「為什麼」物體作圓周運動,那比起回答「因為它只受到向心力」,我會更願意回答「因為繩張力與重力是如此這般地作用在物體上」—我認為後者才是真實狀況。

3.關於重心的(等效)位置

很多時候,老師都把重心當作質心在教,我覺得這會失去了重心之所以存在的原因—將無限多條的重力向量濃縮為一條。我們都知道質點的重力必作用於質點佔據的點—即其本身,然而,任何一個實際物體都不是質點,所以我們需要將實際物體視為由無限多個質點組成的。此時,簡化重力的畫法就很重要。重力應該畫在哪裡呢?這不是個感性的問題,這是需要符合牛頓第二定律的理性檢驗問題。

顯然,牛頓的合力向量是獨立於各力量之作用點的。也就是說,只要物體受到了同量值與方向的力量,那麼不管作用點如何,其瞬時加速度都會是相同的,如(圖五)。

(圖四)左右兩個木塊的合力皆相同,但其運動方式卻不同。假設初速皆為零,那麼左邊的維持靜止不動,而右邊的作等角加速度轉動。

(圖五)左右兩個木塊的合力皆相同,但其運動方式卻不同。假設初速皆為零,那麼左邊的維持靜止不動,而右邊的作等角加速度轉動。

所以,如果眼前的問題與轉動無關,那麼力量的作用點並不影響什麼,否則我們就必須謹慎畫出正確的力圖。那麼,到底該怎麼畫多質點系統的重力呢?此時我們必須透過牛頓第二定律的轉動版本了。

如(圖六),我們都知道重量均勻分布的物體的重力應該畫在物體的幾何中心,也就是說,重心位置應該在幾何中心。不過,這並非是隨性決定的。透過牛頓第二定律的轉動版本,我們可以計算出物體的「等效重心位置」為何。同樣的道理,可以決定物體與接觸面間的正向力之「等效作用點」為何。如果你願意的話,你也可以稱之為「正向(力)心」!?

(圖五)左手邊是質量均勻分布的長方體,右手邊是質量不均勻分布的長方體。藍箭頭為實際重力,紅箭頭為合重力(等效重力)。

(圖六)左手邊是重量均勻分布的長方體,右手邊是重量不均勻分布的長方體。藍箭頭為實際重力,紅箭頭為合重力(等效重力)。

以左手邊的例子而言,這些藍色箭頭的重力們會對長方體造成力矩。假若我們將長方體分為 n 等分,那麼當 n 趨近無限大時,我們就可以完整地用質點模型受到的重力力矩合來表示長方體受到的總重力力矩:

接著,我們希望將它「等效為」一個稱之為「總重力」的力量造成的「那個力矩」(嚴格來說,只存在著質點間的萬有引力,而不存在著所謂的總重力)。所以就可寫出下式:

其中,(M/n)g 是每個質點的重量,Xi 是每個質點的位置,Xc 是「重心位置」,也就是「等效的總重力作用位置」。假設長方體長 L,由於質點只是個數學模型,實際上不存在,所以我們可以將它的位置(Xi)近似為每個「小長方體」的右端點位置。例如,第一個小長方體的左端點即為 0,而右端點是 L/n,以此可推得每個小長方體的(左端點,右端點)為(0 , L/n)、(L/n , 2L/n)、 …((i-1)L/n, iL/n)…、((n-1)L/n , L)。所以,就可以再進一步寫為:

因此,我們可直接代入 ∑i 的公式,

 做到這一步,我想我們很容易看出,原來這些質點造成的重力力矩,「就好像是」有個作用於 Xc 的總重力造成的力矩。而這個 Xc,我們已經算出來了,也就是 L/2。

嚴格說來,我們並沒有用上任何「合力為零」或「合力矩為零」的條件,因為這些「等效」確實與物體的運動狀態無關;也就是說,不論「這個長度為 L 且質量均勻分布的長方體」正在作什麼運動,其各質點的重力力矩必定可等效為作用於「中心點」的總重力造成的力矩。也許有人會說,那這力矩是不是與參考系原點與方向的選定有關?其實是沒有關係的,不管參考系為何,重心相對物體的位置總是固定的。只是這證明比較複雜,我就不再多說了。同樣的道理,當然也可應用在「正向力的等效作用點位置」的計算上!


[1] 實際上,在牛頓力學裡,以繩子的力圖來看,由於繩作等速運動,所以甲施予繩的力必定等於乙施予繩的力,只是目前沒有足夠資料計算繩張力。倘若將繩視為彈簧,那可藉由其伸長量來判斷繩張力。至於文中的 20(N)、30(N) 代表著有些同學會將力量視為施力感,透過賦予這些施力感具體的數字,這是不正確的。請參考〈力量與施力感的關係—淺談拔河獲勝原理〉。

如果要問為什麼牛頓力學的力量不同於肌肉的施力感,那麼就需要另文說明了。有興趣的讀者可以讀 Max Jammer 的《Concept of Force》。但無論如何,這兩者確實完全沒有任何關係。而我們之所以彷彿覺得這兩者應該相同,無非是在「趕課」的教學氛圍下被影響了。

[2] 根據歐姆定律,電壓、電流與電阻在歐姆導體下會維持一定的關係:V=IR,因此我們可藉此推得 I=V/R。由於我們發現影響 V/R 的因素不只有導線截面積,所以導線截面積與電流沒有任何必然關係。

[3] 其實狹義的向心力必須指向曲率中心,也就是近似圓軌跡的圓心。按照圖四左半部的畫法,圓心必在圖中 mgcosθ 所指的某處。更重要的是,此時的「參考系原點」也必須在那,而不能在地面上或任意位置。對參考系原點而言,狹義向心力就是高中所學的那樣,必須對圓點作圓周運動;至於廣義向心力,則作任意運動,此時的向心力「意義」與「公式」也與課本上所寫的不盡相同,詳細內容可參考維基百科「Centrifugal Force 的第 3.3 節」中的「Polar Coordinates」與「Local Coordinates」,以及《Calculus Early Transendentals 7th edition》第十三章。


關於《「相當於」的等效意義》,寫得還可以嗎?

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