將哲學、科學史、實在論以及極限導入國三理化教學的經驗分享

本體論示意圖(點圖至原圖來源)

來說說對國中理化教育的一點感想。這是我試著將我對科學源自神話的歷史研究,我對哲學本體論的一點了解,我對科學解釋與因果關係的了解,以及數學中的極限意義,引入理化教育的過程。最近我覺得物理學就是所謂的本體論。依照維基百科對本體論的簡介,本體論就是「研究到底哪些名詞代表真實的存在實體哪些名詞只是代表一種概念」。因此,我昨晚在教國三理化時,因為這位同學本身數學程度不錯,所以嘗試了一點稍微不一樣的教學。稍微說一下他的學業程度。他就讀金華國中三年級,在我來教之前(昨天是第一堂課),他在包含牛頓定律、功與能量章節範圍的第二次段考拿到94分。在第一次上課前就已經跟他爸媽閒聊過 3-4 小時,昨晚課後也聊了 1 小時左右,應該是有約略了解他的狀況。而這篇也提供給可能想請我當家教的家長參考。


我問他什麼是合外力,他說不知道。我問說什麼是功,他說他也不知道,只知道是力量乘以位移。我說如果有兩個平行但反向的力量作用在一個木塊上,那麼”你有聽過將這兩個力量相減即為合力”的說法嗎?他說他沒遇過也沒處理過這問題。對我而言,他是沒有學好那些內容的。當然,也可以說是我要求太高。如果只就「能不能考高分」來看,他確實已經考很高分了,深信很多家長也非常滿足了。但我認為他可能無法走太遠。他的段考成績正好凸顯出我們的理化教育只是訓練「工匠」而已,從來沒有教學生何謂科學。不過,我正好也在反省我從一位台大哲學所朋友,許益新,從他的臉書動態上看到的一個想法——〈最重要的其中一個基本科學素養實驗第一〉。所以,我也在想著底下的這些「理論」到底有沒有實際的價值。

我認為,關於合外力,他至少有能力舉例說明。例如,能夠使用牛頓第二定律解釋物體靜止於桌面,而非僅僅是使用牛頓第一定律(這是他後來的嘗試)。也許是他的語言組織能力還不夠好的緣故,當他使用牛頓第一定律說明物體靜止現象時,我認為他僅僅是將「合力為零」與「靜止」做簡單的相關連結,而沒有體會到力量是造成物體靜止的原因,尚未建立起因果連結(僅管根據 David Hume 的恆常連結⋯⋯XDD)。

為此,我特別進行如下教學,以下是我憑印象所整理的上課講稿,並不是完整的教學過程。實際的教學過程,當然還用到了相當多的紙筆計算以及電腦軟體的模擬動畫。


同學,在我這樣探問幾次後,我大概了解你處在知其然而不知其所以然的階段,所以我想趁你還有點之前補習班的老本可以吃的時候,稍微幫你複習一下直線運動、力與運動、功與能量。首先,我們要知道我們只能看見物體的位置,我們從來都看不見力量。這是什麼意思呢?舉例來說,如果我問你為什麼我手上的鉛筆在我手張開後會掉落到地上,你也許會因為先前的”洗腦”而給出了常見的”因為重力”答案,也就因為這樣,把力量視為真實(實在論的影子)。進一步來說,有沒有可能是因為有天使跟惡魔在打架,而就在我將鉛筆放開的瞬間,天使把撐住鉛筆的隱形圓柱拿去打惡魔,導致鉛筆就這樣掉到地板上?

你一定覺得我在胡扯。但你不得不同意,這也是一種解釋「鉛筆掉下去」的方法。我想請問,你有辦法證明我是錯的嗎?你一定會說,你沒看到天使與惡魔。但我也可以說我就是沒看到「力量」啊!力量長什麼樣子,你指給我看看?摸給我看看?我想藉此例子告訴你,就僅僅是為了解釋「鉛筆掉落」現象而言,我認為剛才的「天使與惡魔」例子確實是一個解釋。然而,我們卻不”採信”。為什麼呢?來,讓我給你看看所謂的奧卡姆剃刀(指著 iPad)。(上述為將神話與科學起源關係的應用例子,事實上,天使與惡魔解釋象徵的是過去的神話解釋。可參考〈淺談科學的起源——從神話開始〉)

簡單而言,這兩種方法雖然都能解釋,但為了採信「天使與惡魔」的解釋,我這方還得進一步解釋為什麼天使與惡魔剛好在這時吵架為什麼有天使為什麼有惡魔?相較於「牛頓定律的解釋」,早在幾百年前就有人爭論過力量的意義等,許多物理學家已經為「牛頓定律」找到好理由去相信它是真的(這個理由,就得從物理史才能得知)。相較之下,「天使與惡魔的解釋」會有更多理論「負擔」,因此,我們可以用這把奧卡姆剃刀天使與惡魔的解釋剃掉

(這裡我經常用到「…..好理由去相信….」等句子,這是我借用知識論中的傳統知識分析—— Justified true belief (知識即為被證成的真信念)——概念去幫助同學掌握自己接觸這些理論時的模糊感受。也就是說,有些叫做不太知道的感覺可能可稱為相信有些叫做知道的感覺至少要相信且必須是要有好理由的相信。)

為什麼真的有所謂的天使與惡魔?我有什麼好理由相信天使與惡魔真的存在?你會發現我會有更多的「理論負擔」。至於常見的「力量解釋」呢?因為物體受到重力,所以向下掉。難道就沒有「理論負擔」嗎?當然有!14 世紀的尼克爾·奧里斯姆(Nicholas Oresme)甚至特地指出「物體下落時重力並沒有增加」。你看,你是否曾經質疑過老師,為什麼物體下落時不是「越來越重」?而事實上,牛頓定律一直都不是人類一睜開眼就想到的,這是人類自亞里斯多德後,將近過了 2000 年才逐漸接受、相信的理論。換言之,我們有大量的好理由相信真的有力量的存在,但我們還不能夠說自己”知道”力量。其中一個好理由就是,它不僅可以解釋幾乎所有日常現象,你甚至也可以預測許多你尚未但即將要去做的自然實驗。(說明科學解釋在科學中的地位以及用最佳解釋論證來處理爭議

話說回來,為什麼我要講這些?我先前(上週的一兩小時試教)有跟你提過,我們在試著解釋自然現象之前,至少要先準確地描述自然現象。如果你連物體到底是變快還變慢都不知道,我們又該如何知道掌握物體運動的規律呢?因此,你有了基於描述運動現象而存在的「運動學」。這是我們俗稱「實然」的部分,也就是實際發生、存在的事物。物體到底怎麼動,就某種意義上,他是客觀的、無庸置疑的,這是可以被檢驗的。但是,到底什麼是力量呢?沒學過牛頓定律的人,他是不可能掌握這本書中對各種現象的「力學解釋」,並且一定將「力量」與「肌肉感受」混淆。然而,沒學過任何關於物體運動學問的人,他一定能感知物體就是在「那裡」。因此,我們的重點就在於——我們能確定的是客觀的運動,而怎樣解釋是另一回事

接著,我要來談談到底這幾章在幹什麼了。第一章,就是之前所說的,教你準確描述物體運動的方法。你說他很快,究竟有多快?你說他跑得越來越快?那麼這變化又有多快?而至於第二章與第三章,就是我們之後的重頭戲。關於這世界為什麼會有如此這般的規律,我們可以用接下來的兩個定律,或者說,兩個機制來去說明世界的運作方式。

第一個定律,是關於牛頓定律。第二個定律,則是能量守恆定律。不管是哪個定律,我都是在告訴你我們肉眼無法觀察到的「世界的”真相”」(企圖用本體論中探討世界真實存在的實體是什麼的感覺去”引導”同學”朝向”「理解世界的運作規則」的角度來看待物理定律)。進一步來說,就是這個世界「背後的」運作方式。換言之,你從來都沒辦法看見能量,能量是什麼好像都只是「物理老師說了算」。而事實上,力量是什麼似乎也是「物理老師說了算」。

  1. 了解這世界的表象是由什麼組成的。表象分為兩個部分,一個是肉眼可見的物體位置與時間的變化,亦即運動。另一個則是你看不見的,存在於物體之間的「交互作用」,亦即力量。而除了那些肉眼看得見的物體以外,這世界還存在著其他的實體,就是所謂的能量,甚至是之前告訴過你的重力場(以本體論的角度去說明這些名詞的意義)。至於像是力量、能量甚至是質量的抽象名詞的意義,你就得由下面第二點去理解。
  2. 物體間的受力是服從牛頓定律的;能量的傳遞是服從能量守恆定律的。只要你能掌握這兩大定律,基本上你就可以了解那些名詞的意義。這些物理定律,就像是一隻手錶裡面的機械運作規則那樣。你看到的手錶指針是世界的表象,也就是運動。但背後運作的機制是藏起來而不易看見的。就是那些物理定律。

接著讓我們從運動學開始講起。


以上大概是我這次教國三理化的一點將哲學應用在教學中的嘗試,雖然說這是嘗試,不過這一直以來也都是我的風格。我總是會在上課時談一點類似的東西。雖然有很多專技名詞,不過我覺得同學們似乎是可以理解的,雖然的確是需要花不少時間與舉不少實例去刻畫那些抽象概念。昨晚在教完上述這些之後,我就接著檢驗他對於許多先前學過的概念,究竟是「理解」還是「背誦」。而第一個被我「抓到」的點,就是「 V-t 圖下的面積是位移」。

同學確實背起來了,可是它一直都不知道為什麼是這樣的。我說,這是因為物體的瞬時速度處處相同,所以任何時段的平均速度就剛好是這個瞬時速度。

於是我說,任何時段的位移,當然就是平均速度乘以時距。而基於上述的結論,我們可以說出:

這就是為什麼位移是 V-t 圖的底下面積了。但是,我緊接著問他,所以為什麼在等速度運動過程中,任何時段的平均速度,恰好就是瞬時速度呢?換言之,為什麼底下這公式是對的?

此時他有點愣住了。我看得出來他很渴望告訴我「就是因為平均速度是位移除以時間而位移就是面積啊時間就是長方形的底邊長所以就能得到瞬時速度了」。而他也的確告訴我這個想法。於是我緊接著告訴他什麼叫做「前提」、「結論」與「丐題」。我要問的就是推得V-t 圖底下面積就是位移前提為什麼成立我們不能夠將結論反過來視為理所當然進而說明前提成立(而事實上,很多論證之結論的成立並不見得能反推出其前提也必然成立)。花了些時間講完這概念後,我個人認為(以他的反應)他逐漸了解我們不能再次用「位移(面積)除以時距(底邊長)就是平均速度,而它從圖形上恰好對應到瞬時速度(矩形的高)」來回答為什麼「在等速度運動時,任意時距的平均速度即為任何時間點的瞬時速度」的問題。因此,我接著告訴他為什麼那是對的(以上花了不少時間)。

我告訴他,以等速度運動為例。如果物體的瞬時速度不隨時間變化。那麼,在知道物體於某時刻的位置後,我們可以由 X-t 圖上的那個點,以及該時刻在 V-t 圖上對應的瞬時速度,畫出其於 X-t 圖上的切線。由此可以同樣的切線斜率,在 X-t 圖上畫出一條斜直線。(這部分在實際教學上,畫了不少的圖,以及給了他不少的時間慢慢思考,所以這裡只是約略提及)因此,我們可以由平均速度與瞬時速度的幾何意義——割線斜率與切線斜率——在 X-t 圖上得到底下的結論:

在等速度運動中,任何時段的平均速度,等同於,任何時間點上的瞬時速度。

其中,ti、tf、tany 都毫無關係。因此,當我們將等速度運動之 V-t 圖上的值(高)乘上運動時距(底)之後,我們應該將這段「高」——瞬時速度,例如 V(1)——理解為在 1 ~ 5 秒的平均速度值。由此我們可以了解到:

更進一步而言,我們基於這個原因,只能夠確實計算出等速度運動的位移。因為只有在等速度運動的情況下,瞬時速度才會總是等同於平均速度。以上是我堅持的「由已知推理未知」的教學原則。而關於更多抽象的物理實在,例如重力場、能量等,我會「由直覺推得信念」的方法去教學。

因此,下一個問題是,當物體進行加速運動時,我們應該如何計算它的運動呢?為了回答這個問題,我接著跟他提到我先前在〈到底什麼是瞬時速度?〉提到的極限概念(之前有請他看過這篇文章)。

時刻(t) 位置(x = t2 + 3t) 由 1 秒算起之平均速度(Vavg
1 (s) 4 (m) none
1.1 (s) 4.51 (m) 5.1 (m/s)
1.01 (s) 4.0501 (m) 5.01 (m/s)
1.001 (s) 4.005001 (m) 5.001 (m/s)
1.0001 (s) 4.00050001 (m) 5.0001 (m/s)
…. ….
None None V(1) ≡ 5 (m/s)

我們能夠做的,就是:

使用多段等速運動過程的位移,近似一段變速運動過程的位移。

然而,我們會發現,隨著我們將這運動過程分割得越是多段,這些位移似乎就呈現出一種「往某個特定值接近」的現象(下表是借用 James Stewart 微積分課本的範例)。

分割段數 位移
N = 10 0.2850000 (m)
N = 20 0.3087500 (m)
N = 30 0.3168519 (m)
N = 50 0.3234000 (m)
N = 100 0.3283500 (m)
Very large number 0.33333333…..

因此,隨著我們繼續使用的等速運動「段數」越多,做變速運動的位移就越是接近一個特定值。而直覺上,我們也比較好接受段數比較多的近似,會比段數很少(例如才兩段)的近似還要來得接近實際的運動。因此,我們就宣稱那個看起來被大家接近的值,就是真正的位移。以上就是變速運動的位移為什麼恰好也是 V-t 圖底下”面積”的意思。以上,就是我花兩小時教國三理化的粗略過程。


倘若您是家長,您覺得上述國三理化的教學方法如何呢?

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關於 Ethan

79 年次,桃園人,現居住於台北士林。台大化工系、物理系學士,目前就讀於台大電子工程學研究所。自 2008 年開始接觸高中物理家教,現已接過至少 62 位家教學生。教過國高中數學、物理、化學與大學的普通物理學。致力於學習大量知識並同時貢獻於社會。近年關注的社會議題主要為教育、物理教育、勞基法修訂與工會成立議題。此外,我的研究興趣是物理史及其哲學,以及它們在科學教育上的應用。未來想學習法文、拉丁文與德文,以供我研究物理史與增廣見聞用。

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