重力對懸垂於桌邊之繩做的功

原文如下:

the-rope

一均勻繩子質量 M,長度 L,其中 2L/3 置於光滑水平桌面上,剩餘 L/3 懸垂於桌緣。令此繩自靜止開始滑動,當繩最左端恰滑離桌面瞬間,繩之動能為何?

我的想法是,這條繩子在運動過程中會受兩個力:重力與正向力。繩之末動能 = 合力對繩的作功 = 重力對繩的做功 + 正向力對繩的做功

以桌角為參考系原點,質心初座標為(-2L/9, -L/18),左端恰滑離桌面瞬間之質心末座標為(0, -L/2)。此過程之質心鉛直位移為 -4L/9,因此重力對繩作功為 (Mg/3+Mg) ⨉ 4L/9 ⨉ 1/2 = 8MgL/27;正向力對繩作功為 -(2Mg/3) ⨉ 4L/9 = -8MgL/27,所以合力對繩做功為 4MgL/27。可是答案是 4MgL/9

其實同學的作法被以下的習慣誤導了:

物體所受的合外力做功等於其動能變化

嚴格說來,「常見的」系統合外力做功並不等於總動能變化,而是質心動能變化。我之所以稱它為誤導,不僅僅是因為國外學者稱這種功為假功(pseudo-work)[1],也是因為這種「功能定理」只是「牛頓第二定律」的變形;就其根本而言,學校老師經常在解這種題目或任何涉及摩擦力做功等問題時所用到的「功能定理」,都無關於熱力學第一定律——能量守恆定律。

以下我將分四部分回答同學的問題,依序說明為什麼「合外力做功是質心動能變化」、「總動能與質心動能的差異」、「繩子的總動能到底為何」以及回答同學在原文提出的所有問題與觀念訂正。


一、合外力做功等於質心動能變化的推導

首先,考慮一個常見的多質點系統,例如本題的繩子,其總質量為 M,並且組成它的各質點質量為 mi、各質點加速度為 ai,所以它的牛頓第二定律可寫為[2]

接著,上式的左項與右項分別對質心位移作內積[3],可得:

因此,同學算出來的是質心動能變化,這點也可以由他寫的正向力做功來判斷:

正向力對繩作功為 -(2Mg/3) ⨉ 4L/9 = -8MgL/27

以同學的作法來看,下列式子當然是成立的[4]

如果同學回憶自己最初所學的功的定義力量對作用點位移的內積,那麼就會發現此時怎麼跟定義不符?難不成桌子有上下移動嗎?為什麼正向力作用點位移不為零,而是 -4L/9 呢?其實以質心做功的脈絡來看,-4L/9 確實是正向力應該要內積的對象;也就是說,這裡的「假功」的定義並不是「力量對作用點位移的內積」,而是「力量對質心位移的內積」。可惜的是,題目要的並不是質心動能。

二、繩子的總動能不等於質心動能嗎?

試想想以下這個簡單的問題:

two-billard-balls

有兩顆球互相靠近,其質量與速度皆相同,分別是 3-kg 與 2-m/s,請問這兩顆球的總動能與質心動能分別為何?

基本上我們並沒有像是對待「質心位置」那樣認真地對待「總動能」這個詞,前者有明確的定義,但後者卻往往只是約定俗成的定義。而發問的同學恰好跟大家沒有「約好」,要將「質心動能」與「總動能」作為兩個不同的概念。

相信這不必多說,我們對質心動能的定義與總動能—各質點的動能總和—的定義分別如下:

所以,上述兩顆球為零的質心速度使得其質心動能為零,但總動能卻不為零。

三、繩子的總動能為何?

the-rope如果使用能量守恆定律來計算,那麼可以很快就得出答案[5]。讓我們以上圖中的 x 軸作為零位面,這樣就可列出:

 四、觀念訂正、問與答

(X)繩之末動能 = 合力對繩的作功 = 重力對繩的做功 + 正向力對繩的做功

(O)繩之末質心動能 = 合外力對繩的作功 = 重力對繩的做功 + 正向力對繩的做功

(X)正向力對繩作的功為 -(2Mg/3) ⨉ 4L/9 = -8MgL/27

(O)正向力對繩作的功為 -(2Mg/3) ⨉ 4L/9 ⨉ 1/2 = –4MgL/27

Q:用質心探討為什麼錯了?重力這個變力使繩子的質心下移。

A:所有涉及摩擦力做功的題目,都與這題一樣,皆使用質心位移取代作用點位移。所以你的算法除了正向力作的假功不正確、誤認質心動能為總動能以外,其他都是正確的。

Q:「做功=力⨉位移」的這個位移,應該不是受力物體的位移對吧?這個位移有點像是力的位移。

A:當年 Coriolis 為了量化「工人的努力」而提出功的概念時,功的定義確實是力量對作用點位移的累積[6]。在熱力學第一定律—能量守恆定律—裡頭的功也是如此定義。因此,你所說的「受力物體的位移」仍是模糊不清的詞。例如有一磚塊向前移動 5-cm,請問磚塊與地面接觸的某一菱角的頂點(亦即動摩擦力之作用點)的位移必等於 5-cm 嗎?當然是不一定的。或者,想想下面這張圖案,當人往前走時,人—這個物體—確實往前移動了,但你會說地板對人作正功,亦即地板持續給人能量,使得人越來越快而停不下來嗎?當然不會。因此,與能量相關的做功意義必定建立在「作用點的位移」上,而非「質心位移」上。

在走路這點上,我們的腳底是摩擦力之作用點的區域。而不管你如何向前移動,當你沒有滑行而只是「踩著地板向前走」時,你的腳底對地板總是沒有位移的,所以不做(真的)功。

what-is-energy-running

Q:就像你手拉繩子,手對繩的做功取位移是取手的位移而不是繩的位移,這樣解釋對嗎?

A:假設繩的一端綁在牆壁上,你踩著滑板並拉著繩子,因此你往牆壁滑動。對人的系統而言,繩子對人之靜摩擦力作用點並無位移(除非是動摩擦力),所以不做功。但我不確定你說的「手的位移」在此是什麼意思,所以不能直接回答你。


[1] B. A. Sherwood  & W. H. Bernard(1992). Work and heat transfer in the presence of sliding friction.
[2] 注意,下式的 Fext,i 並不等於 miai,下式的第一項原本是各質點合力的「總和」。
[3] 如果你對任意質點的位移作內積,那就沒辦法整理出方便且有物理意義的結果了。此外,這裡預設合力不隨質心位置變化而改變,但若有變化(如待會要說明的正向力與重力),那麼就是從 F-x 圖底下面積計算。
[4] 值得注意的是正向力做功並不是那麼直觀的,因為隨著質心位置的下移,正向力量值也會跟著「改變」,所以原先同學計算的正向力做功是不正確的。因此,我們必須對他作如同重力對質心做(假)功的考量,請參考下圖。

work-done-by-normal-force
[5] 值得一提的是,這個能量守恆定律的由來不同於剛才質心的「(假)功能定理」的推導,因為它本身就是不可被推導得出的,這是熱力學第一定律的應用。
[6] R. E. Oliveira, A. (2011). Coriolis’ Theory of Machines and Mechanisms.


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關於《重力對懸垂於桌邊之繩做的功》,寫得還可以嗎?

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2 thoughts on “重力對懸垂於桌邊之繩做的功

  1. 請問一下 在這個例子中 在最後 繩子的質心速度和繩子中各點的速度不是會相等嗎 那這樣 質心動能和總動能為什麼會不一樣呢?

    • 啊! 我好像發現問題點了 其實繩子在懸垂下落的過程中x方向也有加速度的 所以應該把那一部分的假功也算進去 但是 如果把那一個x方向的正向力考慮進去後 就會發現 對於(0,0)的角動量會不守恒 所以 總動能應該等於質心動能加上轉動動能 這樣理解不知道有沒有錯

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