摩擦力作功的意義

適逢高二考力學能守恆定律的季節,這時最該處理的問題就是動摩擦力作功了!設想一木塊往前滑行 5 (m),並持續受到 1 (N) 的動摩擦力作用,那麼動摩擦力作功為何?參考書答案必然是 -5 (J),但這是錯的。為什麼呢?讓我們再看一個例子。

two-blocks

我們都知道動摩擦力作功需要考慮位移,即 WMm = (-fk)(∆xm)。那麼這裡的 ∆xm 究竟是 7-cm,還是 3-cm呢?還是別的答案?

在回答之前,讓我們先確認一下「功」的意義。「功」作為表達「被傳遞的能量」的物理量,一定滿足以下基本要求,否則能量就會在傳遞過程中無中生有

功的傳遞要求:「M 對 m 作的功」等於負的「 m 對 M 作的功 」

若 ∆xm = 3-cm,那麼根據上述的「傳遞要求」以及牛頓第三定律,計算 M 受到的摩擦力作功時,必然也要將 ∆xM 視為 3-cm,但這麼做只會讓我們感到非常詭異。假若有人說,我們應該站在 M 上觀察 m 的位移,所以 ∆xm 應該是 3-cm。但如此一來, ∆xM 就會是 0-cm(也就是本文最初的例子)。

事實上,m 的位移並不取決於上述的「傳遞要求」,而僅僅取決於我們座標系的選取;若你選擇以地面為參考點,那麼 ∆x就是 7-cm, ∆xM 就是 4-cm;若你選擇以 M 為參考點,那麼 ∆x就是 3-cm, ∆xM 就是 0-cm;若你選擇以 m 為參考點,那麼 ∆x就是 0-cm, ∆xM 就是 -3 cm。然而,並不是所有座標系中都具有「能量」這個物理量。

假若牛頓定律不成立,那麼仰賴牛頓第三定律[1]的「功的傳遞要求」也就必然失效,所以在這種非慣性座標系下,能量守恆定律不成立。因此,我們必須選相對地面等速運動(含靜止)的慣性座標系[2],而不太方便選相對地面加速的長形木塊 M 座標系以計算 m 的位移(非慣性座標系)[3]。以於地面靜止的慣性座標系來看,此時的「摩擦力作功」肯定失去了意義,所以我們必須說:

常見的「動摩擦力作的功」本身是個毫無物理意義,而僅有數學算式上的意義的詞[4]。也就是說,真正的「動摩擦力作功」並不是「動摩擦力乘以巨觀位移」。

但故事還沒結束呢,如果「常見的」動摩擦力作的功本身毫無意義,那麼我們該如何解釋摩擦生熱的現象呢?我們可以用以下方法來解決這問題。

涉及摩擦力的能量變化

雖然目前無法使用「功」的概念來計算能量的傳遞,但這不表示以下兩定律也失效了:

  1. 牛頓三大定律(亦即動量守恆定律)
  2. 能量守恆定律(亦即熱力學第一定律)

因此,我們仍可用這兩大定律來處理熱能傳遞問題。

energy transfer in the presence of friction

假設 m 初速 v,M 最初靜止,並且兩物在光滑地面上。讓我們考慮當兩者在達終端速度的過程中所作的熱交互作用。根據動量守恆定律:

接著,根據能量守恆定律:

假設 m、M 的比熱分別為 Sm、SM,我們可列出:

所以,代入能量守恆式,我們可得[5]

最後,可得末溫為:

並且兩木塊的內能變化為:

也就是說,這兩木塊確實都升溫了,而這些能量都源自 m 的動能。

若以 m 為系統來看能量得失,根據能量守恆定律:

接著來看看長形木塊 M 的能量得失,根據能量守恆定律:

由於能量可以透過作功與熱交互作用傳遞,所以基本上我們不太能得知究竟哪部分的能量是透過「真正的動摩擦力作功」得到的,也不太能知道有多少是透過「熱交互作用」得到的。

涉及摩擦力的微觀粗糙面模型

microscopic view of friction

眾所皆知,摩擦力是來自凹凸不平的表面稜角、尖點,也因此,摩擦力並不局限於一個點上,而是分布在接觸面上。如上圖,地面上的物體向左移動 d 時,其實作用點才移動 d/2[6]。不僅如此,物體滑動時,每個接觸點可能有「焊接」(weld)的現象產生,所以各點接觸力也不同,還可能產生黏力呢。而且,也只有知道這些作用點的摩擦力以及作用點位移,才能計算出真正的動摩擦力作功:

我想目前應該還沒有技術得知物體在滑動時,各接觸點的施力大小與位移,所以也就無法透過上式計算出真正的動摩擦力作功了。也許,我們能做的,頂多就是模擬出物體摩擦的「模型」,然後再去計算在該模型下的動摩擦力作功[7]。在計算動摩擦力作功時,此時我們考慮了作用點位移,牛頓第三定律也成立的話,那就會滿足最初提到的「功的傳遞要求」。

功的傳遞要求:「M 對 m 作的功」等於負的「 m 對 M 作的功 」

因為沒辦法算出真正的動摩擦作功,所以儘管我們在上述例子中算出了 m、M 滑動時的動能、內能變化,也無法得知它們的總能變化有多少是透過動摩擦作功,又有多少是透過熱交互作用得來的。

另外,如果物體是理想剛體,那麼形變就不可能,因形變而產生的動摩擦力也就不可能了。

長形木塊 M 獲得的動能即為真實的動摩擦作功?

有一個挺誘人的想法是,長形木塊 M 的末動能應該是透過「功」的管道得來的。畢竟,加熱木塊並不會使木塊速率增加吧?

但若是如此,當我們反過來分析 m 木塊時,就會遇到困擾。根據相同的推理,我們能說 m 的動能損失應該完全歸因於 M 對 m 的動摩擦作功:

根據我們對「能量傳遞」的認識,「m 對 M 透過動摩擦作的功」應完全等同於負的「M 對 m 透過動摩擦作的功」:

如此一來就得出:

但 m、M 的動能變化顯然不只是差一個負號而已,否則兩木塊就不會「摩擦生熱」了:

所以,

也就是說,我們也無法將 M 獲得的動能完全歸因於 m 透過動摩擦力對 M 作的功:

換句話說,長形木塊 M 透過「功」與「熱交互作用」兩個管道得到的能量,不必然各自對應到系統的動能變化、內能變化。這好像就是在說,長形木塊 M 透過「熱交互作用」得到的能量,可能有部分轉為增加它的動能。

常見的「摩擦力作功」範例討論

例一、

一物體以動能 5 (J) 往前運動,動摩擦力為 1 (N),試求物體將往前滑行多少距離。

按照以前的想法,我們可用下式直接求出答案:

然而,我們已知「動摩擦力對巨觀位移的累積量」不具有能量傳遞—作功—的意義,所以嚴格來說,上述等式是不正確的,除非我們省略最左邊的 Wfk。更進一步來說,答案確實是 5 (m),動能確實少了 5(J),但不可說「此動能變化等同於摩擦力作的功」。因此,只能用牛頓第二定律與運動學等式解決這問題。

假如我們在用「動摩擦力作功」的「錯誤習慣」解題時,知道它背後的意義其實是牛頓第二定律與運動學等式,那麼就沒有任何問題了。不過我仍然建議別寫下 Wfk,因為這確實是錯誤的觀念。

例二、

一木塊以 20 (J) 動能往牆壁上的彈簧衝過去,假設地面動摩擦力為 4 (N),彈簧與木塊最初距離為 2 (m),彈力常數為 10(N/m),那麼彈簧最大壓縮量為何?

首先假設最大壓縮量 x,然後我們以前可能會說,非保守力作功即為系統力學能變化,此時系統為木塊與彈簧,所以列出了下式:

因而解出 x = 1.2 (m)。雖然確實會壓縮這麼多,但這式子本身也是不正確的,此時我們最好別選木塊與彈簧為系統,我建議我們以「木塊」為系統即可。在木塊開始滑行到停止(最大壓縮量)的過程中,牛頓第二定律寫為:

雖然彈力 Fs 會隨著位置(或說時間)而改變,但基本上仍會維持上述關係,而在碰到彈簧之前,Fs 就是零。我們將這整個過程分成很多個微小過程,這樣就可在這「可近似為等加速運動的」短暫過程裡寫下:

此時的摩擦力與位移的累積量仍然不是作功,但是前面的彈力與位移累積量確實是「作功」—因為該位移為作用點位移,因此可得:

最後,將所有短暫過程的上式疊加起來,仍然會寫出與上式完全相同的式子。接下來就可代入了:

接下來要處理彈簧對木塊作的功。根據能量守恆定律,由於牆壁不對彈簧作功,所以彈簧對木塊作的功必等於負的「彈簧的能量變化」[8]

將它代入木塊的能量守恆式,可得:

將彈簧作的功移項至右邊,可得與最初那條式子相同的式子:

結論就是,在涉及摩擦力的能量傳遞過程,我們最好使用由牛頓第二定律、運動學等式與功的意義所組合成的下式:

雖然跟原先的「錯誤習慣」是一樣的式子,但這才是具有正確物理意義的寫法。

總結

常見的「動摩擦力作功」—動摩擦力對巨觀位移的累積量—沒有任何傳遞能量(功)的意義,如果要算真正的「作功」,那就必須用一些模型來模擬粗糙面的接觸稜角,然後算出「真正的作用點位移」,而非「表面上的質心位移」。靜摩擦力仍具有傳遞能量的意義—滿足功的傳遞要求,因為我們假設所有接觸稜角的位移皆相同,所以處理靜摩擦力的能量問題時,可以使用「靜摩擦力對巨觀位移的累積量」的概念。但在遇到涉及動摩擦力的能量問題時,最好回到以前常用的牛頓定律與運動學等式去處理問題。


[1] 根據牛頓第三定律,作用力與反作用力等大反向,兩物體互相施力時的作用點位移又必然相同,所以才能夠滿足「1 對 2 作的功」等同於負的「2 對 1 作的功」。
[2] 其實只要相對遙遠天體等速運動即可。
[3] 關於非慣性座標系的能量轉換、修正方法,可參考 D. A. Manjarr ́es, W. J. Herrera, R. A. Diaz 的 Work and energy in inertial and non inertial reference frames
[4] 讀者也可參考《Physics for Scientists and Engineers 7th edition》的〈8.3 Situations Involving Kinetic Friction〉,作者為 Raymond A. Serway 與 John W. Jewett。
[5] 以下稍微用到了課外的內容,總動能即質心動能加內動能。這兩木塊系統在這過程中損失了它們的內動能,所以可直接寫下總動能變化。讀者也可分別計算兩木塊動能變化再加總,答案是相同的。
[6] 這只是一種可能的微觀摩擦模型,更詳細的討論請參考 B. A. Sherwood and W. H. Bernard(1984) Work and heat transfer in the presence of sliding friction.
[7] 同註記[6]
[8] 例如,若彈簧對木塊作負功 5(J),表示彈簧給木塊 -5(J),木塊給彈簧 5(J),所以彈簧能量增加了 5(J)。因此,-(-5) = +5。


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