角速度的相對性質

example-1已知有一繩綁一物,相對圓心 O 作角速率恆為 ⍵ 的等速率圓周運動,另一端繫於天花板上,如右圖所示。請問,相對於天花板上的繩的固定點 P 的角速率為何呢?(假定繩長為 L,錐動擺角度為 ψ)與此相關的問題是,已知繩長、擺角、相對 O 的角速率,然後求相對 P 點的角動量。

example-2

 

 

另一種題型是,有一物在緯度 45 度的地方,隨著地球自轉而相對自轉軸作角速率為 ⍵ 的等速率圓周運動,如左圖。請問該物體對地心的角動量為何?而這可能也涉及角速度的相對性質。雖然我們可藉由 L = rmv sinθ 直接迴避角速度的相對問題,但我仍覺得同時掌握 L = mr2⍵ 是值得的,相信這有助於我們了解角動量的概念。

這篇文章將仔細說明角速度的相對性質,希望可以解決同學的疑惑!

 

首先來看看一個簡單的 AB 直線運動(如圖一)。O1 與 O2 觀察到的角位移確實不同,但因角位移皆不為零,所以儘管它是沿著直線運動的,但相對 O1、O2 而言仍然是「旋轉運動」。

relative-angular-displacement

(圖一)O1 與 O2 為兩觀察者,一物體由 A 點移動至 B 點。此外,兩觀察者與物體起點、終點的連線皆在同一平面上。

當然了,如果要知道 ∆θ1 與 ∆θ2 的關係,那我們還必須知道對 O1、O2 而言的起點與終點距離。不過,目前我們要處理的問題都有個簡單的性質(見圖二),就是不論是對 O1 還是 O2,物體離他們的距離都是保持固定、不隨時間改變的。

(圖二)物體由C點移動至D點,其起點與終點分別與兩觀察者的距離恰好是相同的。

(圖二)物體由 C 點移動至 D 點,其起點與終點分別與兩觀察者的距離恰好是相同的。

由於先前遇到的問題都是作圓周運動,所以都滿足這樣的條件。不過,由於我們討論的不是平均角速度,而是瞬時角速度,所以接著要想像當時間間隔趨近於零時,這兩角位移的量值關係為何[1]

當運動時間歷程 → 0 時,瞬間位移量值(CD) ≈ R1∆θ1 ≈ R2∆θ2

(圖三)當運動時間歷程(∆t) → 0 時,瞬間位移量值(CD) ≈ R1∆θ1 ≈ R2∆θ2

雖然目前看來,我們不能將位移量值近似為(圖三)中的 O1 與 O2 對應的兩弧長,但是在運動時間歷程(∆t) → 0 時,它們確實是幾乎相同的:

所以,將上式代入瞬時速率定義式裡頭,我們就能得到:

最後,在我們處理的圓周運動裡,物體與觀察者的距離是固定的[2],所以可將 R1 與 R2 提出,最後就得到了該物體分別對觀察者 O1 與 O2 的相對角速度大小關係式:

最後,回到一開始的兩個例子。對於錐動擺的例子,我們可得到:

因為已知物體對圓心 O 的轉速為 ⍵,所以由上式得其對 P 點的轉速為 ⍵ sin(ψ)。因此,物體對 P 點的角動量即為:

對於地球自轉的例子,我們可以得到:

因為已知物體對地球自轉軸之轉速為 ⍵,所以由上式可得其對地心的轉速為 ⍵ sin(45)。因此,物體對地心的角動量即為:


[1] 在(圖二)中,由於我們通常設定物體逆時鐘旋轉時,其角位置是遞增的,所以 O1 觀察到的角位移是大於零的,而 O2 則是小於零的。
[2] 如果不固定,那麼就要取瞬時速度垂直位置向量的有效分量計算,這稍微需要另外的說明。


關於《角速度的相對性質》,寫得還可以嗎?

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