B = μnI 與變壓器的關係

原文大意如下:

transformer-1

變壓器由兩個螺線管組成,根據螺線管磁場公式 B = μnI,以及理想變壓器的零漏磁通量(No leakage flux)的假設,以下等式應該要成立。

  1. B1A ≝ ϕ1 ; n1 = N1/L1
  2. B2A ≝ ϕ2; n2 = N2/L2
  3. ϕ1 = ϕ2

所以,我們可得出以下這個與變壓器恆等式— N1I1 = N2I2 —不相容的結論:

N1I1/L1 = N2I2/L1。

問題出在哪呢?

B and unI

(圖一)積分路徑 S 是我們計算螺線管磁場所採用的路徑

考慮(圖一)中的積分路徑 S,我們經常假設沒有任何磁通量外洩至空氣中,所以 S 暴露於空氣中的部分在安培定律裡的貢獻為零。

然而,由於以下幾點理由,我覺得忽略外洩磁通量是不太合適的。而只要我們同意 B ≠ μnI,那麼基本上我們就解決問題了!

一、在不同積分路徑使用安培電流定律的困難

amperes-law-of-two-different-loop-in-transformer

(圖二)考慮兩個不同橫向長度的積分路徑 A 與 B,其縱向長度皆為 D。

如(圖二),如果忽略空氣中的磁通量,並且假設鐵芯中的磁場處處均勻,那麼會得出自相矛盾的結果:

假如不忽略空氣中的磁通量,那麼就不會產生這樣的情況。當然,這並不是說多數題目都錯了。由於多數題目—例如我手上的《Applied Electromagnetism》—都很巧妙地避開鐵芯間的路徑積分問題(Air gap 不算),所以它們都不會遇到這樣的困難,而我相信那些題目的結果也都是與實際情況相去不遠的。

二、儘管能量耗損為零,但能量傳遞功率也是零

早在 30 年前就有學者指出[1],若要使變壓器能夠傳遞能量(使 Poynting Vector 不為零),那麼勢必不符合理想變壓器的預設。也就是說,我們必須考慮鐵芯中間外洩的磁通量,才有可能由輸入端,透過 Poynting Vector,傳遞電磁能至輸出端,如(圖三)。

poynting-vector-of-transformer

(圖三)紅線圈為因磁通量變化而產生的感應電場,藍線外洩的磁通量,綠箭頭為代表能量功率的 Poynting Vector。

假如不藉由外洩磁通量來造成 Poynting Vector,那麼只靠鐵芯內部的環形磁力線,是不可能產生向右的 Poynting Vector的,如(圖四)。

poynting-vector-of-an-ideal-transformer

(圖四)綠箭頭為理想變壓器的 Poynting Vector,由圖可知它們都是往鐵芯表現傳遞出去,由鐵芯的電阻轉換成熱能而號散掉。

三、其他看似不是那麼有說服力的意見

有學者直接指出[2],鐵芯之間(空氣區域)的 H 場強度遠大於鐵芯內的 H 場強度,所以我們最初於(圖一)對路徑 S 的計算,本質上就是完全被他否定的,但我目前還不曉得確切原因。也許是根據實驗結果?另外,也許有人會說,因為 B = μnI 預設無限長的螺線管,而且那螺線管也要忽略邊際效應,這樣才能得出螺線管內部磁場可近似為均勻的 μnI。不過,我覺得鐵芯內的磁場分布也是相當均勻的(除非考慮上述的外洩磁通量),所以儘管就算 B ≠ μnI,我想主要原因也不是這個。最後,還有種想法是,不如就將原本導出的下式中的 L1 與 L2 畫上等號就行了:

因為這樣的想法將使得,只有 L1 = L2 的「這樣的設備」才具有「變壓器」的功能,也就是說,如果 L1 ≠ L2,那麼就會遇到上述困難而沒人知道這是什麼了。因此,我想這也不是個妥當的想法。


[1] W. A. Newcomb(1984)  Where is the Poynting vector in an ideal transformer. Faria, J.(2013)  A physical model of the ideal transformer based on magnetic transmission line theory.
[2] F.Herrmann & G. Bruno Schmid.(1985)  The Poynting vector field and the energy flow within a transformer.


關於《B = μnI 與變壓器的關係》,寫得還可以嗎?

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6 thoughts on “B = μnI 與變壓器的關係

  1. 可以想像輸入端(1)如果是直流電
    鐵芯中會有固定的(不為零)磁場

    根據PTT樓主的想法
    輸出端(2) 應該要有電流 因為線圈中有磁場

    但事實上輸出端就算是是接通的通路也不會有電流

    所以他誤以為輸出端鐵芯中的B-field的source主要來自輸出端的線圈電流

    至於您的論點中,我想可能要好好思考B跟H的不同~ 尤其在“鐵芯”這種東西上 =]

    • 感謝你的回覆,我想知道更多關於你說的B與H的不同,不知是否方便跟我說你覺得文中推論不當的地方?

      至於PTT樓主的想法,我以為他是認為既然「只要螺線管通電流,那麼 B=uni 就成立」,那麼根據這式以及「鐵芯完全導通磁力線」(即兩處 B 場皆相同)就能推得 un1I1 = un2I2,得出與法拉第定律不相容的關係式。

      • 小弟念物理系 如果用詞跟工學院電磁學不同請多多包涵~~~ 有疑問就直接說吧XD

        “感謝你的回覆,我想知道更多關於你說的B與H的不同,不知是否方便跟我說你覺得文中推論不當的地方?”

        因為一般談沒有磁漏講的是B-field(應該拉我不是工學院的哈哈)
        而在鐵芯存在的地方B-field 主要來自Magnetization
        B幾乎是順著鐵芯的方向走
        但H就麻煩了 所以你把H-field的積分寫成D+2L_a 和 D+2L_b 並不是這麼妥當(對B-field就幾乎正確了)
        to be more specific
        curl of H depends on free current ( 在這個case, free current就是銅線裡的電流 )
        however
        curl of B depends on total current = bound current + free current
        所以你的環路積分包到越多的鐵心表面 就會越多bound current (方向和導線電流一樣進螢幕面或出螢幕面)

        “至於PTT樓主的想法,我以為他是認為既然「只要螺線管通電流,那麼 B=uni 就成立」,那麼根據這式以及「鐵芯完全導通磁力線」(即兩處 B 場皆相同)就能推得 un1I1 = un2I2,得出與法拉第定律不相容的關係式。”

        嗯嗯意思一樣拉
        我只是在論證 「只要螺線管通電流,那麼 B=uni 就成立」本身就是有問題的
        舉個簡單的例子,你可以插個磁鐵棒在螺線管裡 這樣B(inside)=(uni)+(磁鐵造成的)

        更進一步說 推導出 B=uni 有兩個 part
        1. use \int B da = \mu_0 i + (電場通量時變率_先當零)
        2. 選取 B outside = 0的boundary condition
        就可以得到上式

        在有磁鐵棒插在螺線管中的case \mu_0 i 的電流i除了螺線管的電流,還要加上磁鐵棒的貢獻(磁鐵棒表面的bound current due to it’s magnetization) 所以恩~

        我想根本的問題就是你談了很多磁漏的問題
        試圖透過磁漏解釋ptt樓主用螺線管B=uni所算出的結果
        但問題是「只要螺線管通電流,那麼 B=uni 就成立」本身就是有問題的
        所以才會怪怪的~~
        btw
        在PTT中還有一個跟這離比較無關的問題是大家一直談V=IR 忘了在這裡 變壓器的互感很重要~ V=IZ 以前高中沒學過RLC怎麼想都想不通XDD

        哎好佩服你可以寫這麼多文章喔
        我每次下定決心要來寫blog都因為懶惰就荒廢惹QQ

        • 你好你好!你回了好多啊!謝謝你的用心^^”

          我們化工系沒教電磁學啦,哈,是我之前自己去修物理系、電機系的電磁學,所以你說的自由電流與束縛電流,我都有在 Griffiths 與 Rao 裡學到。但…現在的確比以前修課時還要不熟了=.=

          針對你說的 H 場積分,你講得有道理,不過我在文中有提到「如果忽略空氣中的磁通量,並且假設鐵芯中的磁場處處均勻,那麼會得出自相矛盾的結果…」,接著才把 H 場的積分寫成 D+2La 和 D+2Lb。之所以這麼假設,就是為了導出矛盾的結果,而使得我們不該認為沒有外洩的 H 場。我手上這本《Applied Electromagnetism》的第14章談磁路(Magnetic Circuits)時往往假設沒顯著磁漏,所以假設 H 場平行於鐵芯軸應該是沒問題的,可參考維基百科的〈Limitations of the analogy〉。

          接著你後面提到的推導 B = unI 的過程,通常我都會用 H 場的線積分來推導 🙂 因為這樣就直接考慮到 Bound Current 了^^

          最後你提到的互感..我想你的意思應該是,因為螺線管本身就是個帶有電阻的電感,所以螺線管端電壓應用 V=IZ 來考慮(包含電阻與互感造成的電壓)。希望我沒會錯意^^” 推薦你上 ptt 跟那個人說說你的想法!

          寫部落格很花時間啊…每篇文章都花我 2-4 小時Orz…最近比較忙,所以就沒寫什麼文了QQ

          • http://physics.unm.edu/Courses/Finley/p405/magnetsbetter.jpg
            抱歉我還沒找比較應用的書來看
            但這張圖是單純磁鐵棒的H 跟 B
            首先因為沒有free current , curl of H = 0
            但不代表 H = 0

            然後你會看到在有物質的地方 H 和 B 就不平行了

            你說的是對拉如果所謂的no leakage
            如果指的是沒有材料的地方H 和 B都是零 完全的零
            那就沒救了 就像你說的!!

            可是當初會有磁漏不磁漏這種想法是因為,鐵磁性材料可以在很小的外場H下induce 出很大的M 以致於有很大的B 而且H 和B也不會平行(那個mu還是甚麼的就不是常數 而是 tensor),這時候處理問題就很容易被直覺誤導,尤其是我們常因為我們想的是場的積分(或 curl, div)而非場本身,而對場的長相有些不完全的想像

            我自己那時候沒看過上面那個圖
            我也畫不出來磁棒的H,甚至還會以為free current =0 H就通通是零
            哈哈

            我有空來看看工程電磁學談磁路的方法好了~ XD

          • 哇,我今天有特地因你的想法而去找 H 場的圖,但我沒找到Orz…沒想到你第一行就貼上了這圖XD 謝謝分享!老實說,我剛看到你說「就算沒有 free current,也可能有 H 場」時還楞了一下XD 你說的對,因為都在處理場的旋度與散度,我經常也因 curl H = 0 而誤以為 H = 0。就「H = B/u0 – M」看來,只有在 B = u0*M 時才沒有 H 場,真奇妙的感覺。

            感謝分享!^^

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