力量與施力感的關係—淺談拔河獲勝原理

國二理化課本為力量下的定義是:

說此物體的形狀運動狀態有所改變,就是在說,此物體受力了。

儘管如此,許多老師教學時仍然想越過上述定義,企圖透過我們的「施力感」去引導同學們想像各種題目的情境。幾乎所有涉及到人推拉物體的過程的題目,都會說人施了多少牛頓的力,同學們也往往因此覺得自己的施力感好像就是很直接地化約為牛頓力學中的「F」。然而,這就像是以為我們可以透過電磁波的波長、頻率去描述肉眼所見的顏色一樣,都是徒勞無功的;我們永遠無法判斷我們心中想到的紅色的「顏色本身」是否相同。

我並非主張不應該使用類比來教學,相反地,類比推論在科學裡扮演著相當不得了的重要地位。如果沒有類比推論,那麼我們就無法談光、聲音到底是不是波,也無法談如何透過「場」來解決超距力的問題。因此,我不僅主張應該利用類比推論來幫助同學學習,但同時也應該小心謹慎地釐清各種類比項之間的關係。

將「F」類比為「施力感」的作法有助於想像實際的操作過程,進而想像可能的結果。例如,我說有個 1(kg) 的木箱放在粗糙地板上,最大靜摩擦力為 8(N),動摩擦力為 5(N),而你對它持續施了 1 分鐘 10(N) 的力,使木箱由靜止開始運動。請問木箱會做什麼運動?

你一定會知道它作等加速度運動,但你是怎麼知道的?

  1. 你是透過 Fnet = ma,接著算出 a(t) = 5。發現 a(t) 與 t 竟然是獨立的,然後才得知木箱作等加速度運動嗎?
  2. 你是透過想像以「穩定的施力感覺」推木箱,之後覺得它「應該是」等加速度運動。接著再透過 (1) 去檢驗自己的直覺(生活經驗帶來的預測)是否正確?

幾乎所有高中題目都與生活有關,所以透過直覺(想像)來解題是非常常見的作法,包括我自己也經常這麼做。但值得注意的是,其實「穩定的施力感覺」與「10(N)」沒有明確的關係;也許它們是有必然的關係,但那個關係是什麼?我們卻不知道、甚至無法掌握。而這種無法掌握的、模糊的必然關係[1],在上個題目裡,我們一點也不因此感到困擾。但接下來的問題呢?

tug-of-war-diagram-fixed

甲、乙兩人正在拔河,由於甲比較有力,所以甲一口氣就施出了 20 牛頓的力,相當於 2 公斤重的力。然而,乙比較瘦弱,所以只施了 10 牛頓的力,相當於舉起 1 公斤重物體所需的力。請問繩張力為何?(繩質量為 500 克)

一種答案是,(1)甲與乙施的力加起來,才是真正的繩張力,也就是 30 (N)。另一種答案是(2)因為繩張力與位置有關,並不是唯一的值,所以無法回答。因為此時繩子兩端各受了不同的拉力,所以每一小段繩子之間的張力是隨著位置而不同的。雖然這兩種答案看似合理,但我認為第一種答案是錯誤的,因為我們無法以獨立於牛頓第二定律的方式去理解「力量的合成」。力量之所以能夠相加,無非是因為牛頓第二定律使得「力量的合成」有意義。

然而,假如我們能夠以牛頓第二定律去證成「甲與乙施的力加起來,才是真正的繩張力,也就是 20 + 10 = 30(N)」,那麼該如何理解此時的質量 m 與瞬時加速度 a 呢?

更別說要求畫出包含 20(N) 與 10(N) 的力圖了,因為根本沒有這種系統。不僅如此,由於拔河暗示繩幾乎靜止不動,加上沒什麼機會處理考慮繩質量的問題,所以部分同學認為第二種答案幾乎是不可能的,然而那才是唯一符合題意又成立的情況。


問題一:繩子之瞬時加速度不為零,則繩兩端張力之關係為?

rope

倘若繩子的瞬時加速度不為零,那麼根據牛頓第二定律,繩子兩端的繩張力必然不相同。

若繩子向右加速,則 T2 較大,反之則 T1 較大。就算繩質量只有 0.001 kg,使得就算瞬時加速度為 1000 m/s2,兩端繩張力也只差 1 (N),那 T1 與 T2 仍是有差別的。

問題二:繩子之瞬時加速度不為零,則繩上各點張力為何?

假如我們現在取部分繩為系統,那麼就能算出在加速情況下,繩張力與位置的關係。

the function of tension

問題三:繩子之瞬時加速度為零,則繩兩端張力為何?

倘若繩子靜止,那麼根據牛頓第二定律,繩兩端張力必定量值相同且大小相反。

rope

此時又會有同學覺得,拔河時繩子大多是靜止的,但為什麼合力為零的情況還會讓我們有「對方施力較輕鬆,而我們施力較困難」的感覺呢?事實是這兩者真的毫無關聯。

問題四:繩兩端的張力,彼此是作用力與反作用力的關係嗎?

因為作用與反作用力是施予在不同物體上的,但它們卻都是作用在繩上的力—「甲施予繩子的力」、「乙施予繩子的力」。因此,它們並不具有作用力與反作用力的關係。


此外,拔河分出勝負的方式,主要是看以下三點:

two-men

  1. 繩張力對人的力矩是否大過重力力矩[2],使得人相對腳尖轉動(向前翻滾)?
  2. 繩張力是否大過地面能施予人的最大靜摩擦力?倘若繩張力太大,人也會往前滑動。
  3. 甚至,比較危險的是,人的手臂或繩索本身是否能負荷如此大的張力[3]

因此,就算繩張力處處相等,亦即繩靜止且 T1 = T2,那麼只要 r1 或 r2 過大、 s1 或 s2 過小、鞋子與地面的最大靜摩擦力不夠[4],那麼都可能會輸。

最後稍微提些很簡單的例子,稍微說明一下施力感如何與牛頓力學中的力量不相關。想像你正在提個水桶,是不是提越久,手會越痠呢?但水桶的重量卻沒有變化。除非你能區分出「痠感」與「施力感」,否則你總是無法輕易地為施力感與「F」畫上明確的等號。或者,國小時倒垃圾總是很重,但長大後抬同樣重量的垃圾就不覺得那麼重了?所以,施力感顯然與牛頓力學中的力量是沒有明確關係的。


[1] 「必然關係」是由「必然」與「關係」兩個概念組成的。關於必然性,以現在我們的世界而言,「我是男人」就是必然的;「我明天中餐吃飯而不吃麵」是偶然的。所以,也許「力量量值」與「施力感」是必然的正相關。更精確而言,每當 F 越大時,你的施力感也就越強;每當 F 越小時,你的施力感也就越弱,而不存在著 F 越大但施力感越弱等現象。
[2] 由於正向力集中於腳尖附近,所以其力臂可能小到使得正向力力矩可忽略。
[3] 參考台北市拔河斷臂事件
[4] 這裡並不是比靜摩擦力 fs1 與 fs2 的大小,而是比誰先翻滾,也就是比它們受到的相對前腳支點的合力矩量值大小。


關於《力量與施力感的關係—淺談拔河獲勝原理》,寫得還可以嗎?

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2 thoughts on “力量與施力感的關係—淺談拔河獲勝原理

    • 嗯嗯是的!說到這個,讓我想補充一點:

      有的同學認為,既然質量為零的繩子其合力必為零,那麼它的加速度也就必然為零,其實這是不一定的。根據 Fnet = ma,Fnet = 0*a = 0,但 a 可為任意值。因此,理論上,質量為零的繩子也是可有加速度的。

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