向心加速度與瞬時速度垂直嗎?

有些同學在課本上讀到以下這兩句話,就開始懷疑向心加速度似乎並不垂直於瞬時速度。

(1)瞬時加速度的方向,即為瞬時速度變化的方向。
(2)當瞬時加速度即向心加速度時(例如,做等速率圓周運動的物體),
   瞬時加速度與瞬時速度就是互相垂直的。

the-reason-why-centripetal-acceleration-perpendicular-to-instantaneous-velocity(2)由上圖就可以看出,當初速率等於末速率時,瞬時速度的變化總是不垂直於初速度或末速度。當同學問為什麼瞬時加速度有可能垂直於瞬時速度時,通常對方會說:

因為變化是一瞬間的,而且初速率又等於末速率,所以初速度與末速度就幾乎垂直瞬時速度變化方向了。

但有些同學仍不滿意,因為那也只是幾乎垂直,實際上並不垂直啊!其實我的立場跟這些同學是一樣的。讓我們來看一個較簡單的相似例子,以說明現在的盲點。

設想有個物體的位置與時間的關係是,位置與時間成平方正比:

接著,我們好奇它在1秒的瞬時速度:

目前都是沒問題的。但是如果我們直接跳到底下這一步,那就要小心了。

我們要如何解讀上式的第一個等號呢?也許是因為我們將 ∆t 消去了,那第二個等號呢?也許是因為 ∆t = 0 ,所以就等於 2 了。讓我們再仔細反省一下,如果 ∆t = 0 ,那麼前幾式的分母都是零,分母可以是零嗎?儘管分子也是零,但 0/0 有意義嗎?我們如何得出 0/0 = 2 的結論呢?甚至,在  ∆t = 0 的情況下,還有運動的意義嗎?

為了凸顯「極限定義不明」造成的困擾,以及「極限定義」應該是什麼,讓我們再來看看底下這例子。

我想大家都同意上式是成立的,但它的成立理由是什麼呢?是因為 x = 0 嗎?不是的,這是因為當 x 往 0 靠近時,1+x 也正在往 1 靠近,所以等號成立。也就是說,只有當 x = 0 時,1+x 才會是 1,而現在的 1+x 並不是 1,只是隨著 x 接近 1 而跟著接近 1。

根據 James Stewart 在 Calculus Early Transcendentals 7th edition 所言[1]

上式的意思是,當 x 接近 a 時,f(x) 也跟著接近 L[2]。也就是說,當 x 接近 a 時,f(x) 的極限是 L。因此,並不是 f(x) 等於 L,而是 f(x) 的極限等於L。從這樣的定義,我們就可以解決最初的問題了。確實,當瞬時加速度等於向心加速度時,瞬時加速度是垂直於瞬時速度的。但是

(1*)瞬時加速度的方向,即為當∆t→0時,瞬時速度變化的方向所趨近的方向

也就是說,瞬時加速度的方向並不是瞬時速度變化的方向。因此,我們剛才所舉的瞬時速度的例子,之所以 v(1) = 2,不是因為 ∆t = 0,而只是因為當 ∆t→0 時,2+∆t→2。希望上述說明,能解決同學們的疑惑。


[1] 詳細內容請參考作者在 P87 的說明,該段落原文如下:

Suppose f(x) is defined when x is near the number a.(This means that f is defined on some open interval that contains a, except possibly at a itself.) Then we write

and say “the limit of f(x), as x approaches a, equals L” if we can make the values of f(x) arbitrarily close to L (as close to L as we like) by taking x to be sufficiently close to a (on either side of a) but not equal to a.

Roughly speaking, this says that the values of f(x) approach L as x approaches a. In other words, the values of f(x) tend to get closer and closer to the number L as x gets closer and closer to the number a (from either side of a) but x ≠ a.

An alternative notation for

is “f(x)→L as x→a” which is usually read “f(x) approaches L as x approaches a”.

[2] 如果同學覺得,我們要怎麼知道 f(x) 真的會在 x 接近 a 時,也跟著接近 L,而不是 L+0.1 或 L+0.00000001 呢?例如當 x → 2 時,我該如何證明 x2 → 22 呢?甚至,該如何證明當 x → 0 時,sin(x)/x → 1呢?最簡單的想法是,讓我們來玩賭博遊戲吧!

你隨便給我一個數字,例如 0.1,我有辦法找到一個 x 應該與 2 保持的距離,使得 x2 落在 (3.9 , 4.1)之間。例如,當 x2 = 3.9 時,x=1.9748….,當 x2 = 4.1 時,x=2.0248….。所以,若 x 與 2 的距離在 0.02 以內(2-√(3.9) ≈ 0.026,√(4.1)-2 ≈ 0.0248),那麼我就能保證 x2 落在 (3.9 , 4.1)之間。同理,你繼續給我隨便一個數字,例如 0.0000001,我都有辦法用同樣的方式,告訴你只要 x 與 2 的距離落在某一區間裡, x2 與 4 的距離就會小於等於 0.0000001。而只要我能夠證明,不管你拿出什麼數字挑戰我,我都有辦法找到相對的 x 區間,使得函數值與我心中的它的極限值的距離 ≤ 你挑戰我的數字,那麼我就成功證明當 x→a 時,f(x)→L 了。將上述想法作更進一步的解釋、說明,就形成了當今微積分課本必教的「(ε, δ)-極限定義」。


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