向心加速度與瞬時速度垂直嗎?

有些同學在課本上讀到以下這兩句話,就開始懷疑向心加速度似乎並不垂直於瞬時速度。

(1)瞬時加速度的方向,即為瞬時速度變化的方向。
(2)當瞬時加速度即向心加速度時(例如,做等速率圓周運動的物體),
   瞬時加速度與瞬時速度就是互相垂直的。

the-reason-why-centripetal-acceleration-perpendicular-to-instantaneous-velocity(2)由上圖就可以看出,當初速率等於末速率時,瞬時速度的變化總是不垂直於初速度或末速度。當同學問為什麼瞬時加速度有可能垂直於瞬時速度時,通常對方會說:

因為變化是一瞬間的,而且初速率又等於末速率,所以初速度與末速度就幾乎垂直瞬時速度變化方向了。

但有些同學仍不滿意,因為那也只是幾乎垂直,實際上並不垂直啊!其實我的立場跟這些同學是一樣的。讓我們來看一個較簡單的相似例子,以說明現在的盲點。

設想有個物體的位置與時間的關係是,位置與時間成平方正比:

$$\large x(t)=t^{2}\tag{1}$$

接著,我們好奇它在1秒的瞬時速度:

$$\begin{align}\large v(1)\;&\large=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{x(1+\Delta t)-x(1)}{\Delta t}\tag{2a}\\[4ex]&\large=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{(1+\Delta t)^{2}-1^{2}}{\Delta t}\tag{2b}\\[4ex]&\large=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\left(2+\Delta t\right)\Delta t}{\Delta t}\tag{2c}\end{align}$$目前都是沒問題的。但是如果我們直接跳到底下這一步,那就要小心了。

$$\begin{align}\large v(1)\;&\large=\lim_{\Delta t\to 0}\left(2+\Delta t\right)\tag{3a}\label{3a}\\[4ex]&\large=2\tag{3b}\label{3b}\end{align}$$

我們要如何解讀$\eqref{3a}$呢?也許是因為我們將 $\Delta t$ 消去了,那$\eqref{3b}$呢?也許是因為 $\Delta t=0$,所以就等於 $2$ 了。讓我們再仔細反省一下,如果 $\Delta t=0$ ,那麼前幾式的分母都是零,分母可以是零嗎?儘管分子也是零,但 $0/0$ 有意義嗎?我們如何得出 $0/0 = 2$ 的結論呢?甚至,在  $\Delta t=0$ 的情況下,還有運動的意義嗎?

為了凸顯「極限定義不明」造成的困擾,以及「極限定義」應該是什麼,讓我們再來看看底下這例子。

$$\begin{align}\large\lim_{x\to 0}f(x)\;&\large=\lim_{x\to 0}\left(1+x\right)\tag{4a}\label{4a}\\[4ex]&\large=1\tag{4b}\label{4b}\end{align}$$

我想大家都同意$\eqref{4a}$、$\eqref{4b}$是成立的,但它們的成立理由是什麼呢?是因為 $x = 0$ 嗎?不是的,這是因為當 $x$ 往 $0$ 靠近時,$1+x$ 也正在往 $1$ 靠近,所以等號成立。也就是說,只有當 $x = 0$ 時,$1+x$ 才會是 $1$,而現在的 $1+x$ 並不是 $1$,只是隨著 $x$ 接近 $1$ 而跟著接近 $1$。

根據 James Stewart 在《Calculus Early Transcendentals 7th edition》所言[1]

$$\large\lim_{x\to a}f(x)=L\tag{5}$$

上式的意思是,當 $x$ 接近 $a$ 時,$f(x)$ 也跟著接近 $L$[2]。也就是說,當 $x$ 接近 $a$ 時,$f(x)$ 的極限是 $L$。因此,並不是 $f(x)$ 等於 L,而是 $f(x)$ 的極限等於 $L$。從這樣的定義,我們就可以解決最初的問題了。確實,當瞬時加速度等於向心加速度時,瞬時加速度是垂直於瞬時速度的。但是

(1*)瞬時加速度的方向,即為當 $\Delta t\to 0$ 時,瞬時速度變化的方向所趨近的方向

也就是說,瞬時加速度的方向並不是瞬時速度變化的方向。因此,我們剛才所舉的瞬時速度的例子,之所以 $v(1) = 2$,不是因為 $\Delta t=0$,而只是因為當 $\Delta t\to 0$ 時,$2+\Delta t\to 2$。希望上述說明,能解決同學們的疑惑。


[1] 詳細內容請參考作者在 P87 的說明,該段落原文如下:

Suppose $f(x)$ is defined when $x$ is near the number $a$.(This means that $f$ is defined on some open interval that contains $a$, except possibly at $a$ itself.) Then we write

$$\large\lim_{x\to a }f(x)=L$$

and say “the limit of $f(x)$, as x approaches a, equals $L$” if we can make the values of $f(x)$ arbitrarily close to $L$ (as close to $L$ as we like) by taking $x$ to be sufficiently close to $a$ (on either side of $a$) but not equal to $a$.

Roughly speaking, this says that the values of $f(x)$ approach $L$ as $x$ approaches $a$. In other words, the values of $f(x)$ tend to get closer and closer to the number $L$ as $x$ gets closer and closer to the number $a$ (from either side of $a$) but $x\neq a$.

An alternative notation for

$$\large\lim_{x\to a}f(x)=L$$

is “$f(x)\to L$ as $x\to a$” which is usually read “$f(x)$ approaches $L$ as $x$ approaches $a$”.

[2] 如果同學覺得,我們要怎麼知道 f(x) 真的會在 $x$ 接近 $a$ 時,也跟著接近 $L$,而不是 $L+0.1$ 或 $L+0.00000001$ 呢?例如當 $x\to2$ 時,我該如何證明 $x^2\to2^2$ 呢?甚至,該如何證明當 $\to0$ 時,$\sin\left(x\right)/x\to1$呢?最簡單的想法是,讓我們來玩賭博遊戲吧!

你隨便給我一個數字,例如 $0.1$,我有辦法找到一個 $x$ 應該與 $2$ 保持的距離,使得 $x^2$ 落在 $(3.9 , 4.1)$之間。例如,當 $x^2=3.9$ 時,$x=1.9748\dotsm$,當 $x^2=4.1$ 時,$x=2.0248\dotsm$。所以,若 $x$ 與 $2$ 的距離在 $0.02$ 以內($2-\sqrt{3.9}\approx0.026$,$\sqrt{4.1}-2\approx0.0248$),那麼我就能保證 $x^2$ 落在 $(3.9 , 4.1)$之間。同理,你繼續給我隨便一個數字,例如 $0.0000001$,我都有辦法用同樣的方式,告訴你只要 $x$ 與 $2$ 的距離落在某一區間裡, $x^2$ 與 $4$ 的距離就會小於等於 $0.0000001$。而只要我能夠證明,不管你拿出什麼數字挑戰我,我都有辦法找到相對的 $x$ 區間,使得函數值與我心中的它的極限值的距離 $\leq$ 你挑戰我的數字,那麼我就成功證明當 $x\to a$ 時,$f\left(x\right)\to L$ 了。將上述想法作更進一步的解釋、說明,就形成了當今微積分課本必教的「$(\epsilon, \delta)$-極限定義」。


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關於 Ethan

我是高英倫,79 年次,桃園人,現居住於台北士林。台大物理系、化工系學士,目前就讀於台大電子工程學研究所,未來希望能朝向關於固態物理、半導體物理的研究前進。自 2008 年開始接高中物理家教工作,現已接過至少 65 位家教學生。教過國高中數學、物理、化學與大學的微積分與普通物理學。目前以教大學普通物理為主。關於物理教學研究,我興趣是物理史及其哲學,以及它們在教育上的應用。
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