弦波的波速推導

wave-1許多參考書證明弦波(又稱週期波)波速與繩張力公式時,都會將於波峰之微小段繩所經歷的瞬時加速度視為向心加速度,然而在高二上時,老師又說向心加速度必垂直於瞬時速度。由於該質點其實正在作鉛直簡諧震盪,而且波峰恰好是端點,亦即瞬時速度為零!這就表示當時的瞬時加速度不可能是向心加速度。

儘管我們說「波速」是向前 v,但該質點的瞬時速度(或說振動速度)確實是零;俗稱的「波速」其實是相位速度,或者說「波形速度」。因此,將 v 用「波形速度」矇混過去仍是不正確的。本文將簡單說明正確的繩波推導方式,而這涉及到少見但十分重要的觀念—慣性參考系

慣性參考系

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要將波峰微小段繩的瞬時加速度視為向心加速度的方法,就是讓該繩段真的具有一垂直瞬時加速度的瞬時速度。由於我們知道繩波波速為 v 向右,因此我們可以選定一相對波形靜止的參考系,如此一來,雖然我們覺得波形靜止不動,但位於波峰的質點卻總是以 -v 向左運動

由於牛頓認為力量是「絕對的」,也就是說,力量不因觀察者而不同,所以我們又說牛頓力學中的力量是「單值的」。因此,相對地面靜止的慣性參考系觀察到的繩張力 T,其量值與方向與相對波形靜止—亦即相對地面等速 v 向右運動—的慣性參考系所觀察到的繩張力 T 是完全相同的。

繩波的波速證明

wave-3

如右圖,在此慣性參考系下的波峰微小段繩的瞬時加速度即為向心加速度,儘管它並非作圓周運動。此微小段繩對應到的曲率半徑不見得是振幅 A,讓我們姑且假設是 R 吧。

接著看看它的鉛直合力:

上式的近似表示我們僅考慮位於波峰(或波谷)的繩質點,角度因此非常地小。並且由於繩子沒有水平位移,所以繩張力之水平分量處處相等,所以此左右對稱的微小段繩左右端張力相同。並且其重量遠小於繩張力,所以忽略不計。接著,假設此微小段繩長為 L,那麼其質量就可寫為線密度乘以長度:

因此,根據牛頓第二定律:


關於《弦波的波速推導》,寫得還可以嗎?

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4 thoughts on “弦波的波速推導

  1. 我看完及仔細思考後,我有兩個問題~
    1.是否一定要「藉助慣性座標系」才能完成波速的證明?
    若不利用「慣性座標系」還有辦法列式嗎? 我是列不出來啦= =
    2.挑選「波峰的那個點」才能計算嗎?
    若我偏偏要挑其他點來證明行得通嗎?

    總覺得這種證明並不嚴謹,有許多太完美的假設~

    最後就是,能想到用「慣性座標系」來推導弦波波速的人真得好厲害阿~

    我自己慢慢想可能一輩子都想不出來阿~~~

    • 一、其實我更常看見書上使用波動方程式(wave equation)證明波速,像是電磁學課本與古典力學課本都會推導出波動方程式,之後再證明波速與其他物理量的關係,可參考波動方程

      二、目前我沒想到具體方法,一旦觀察者相對波形靜止,那麼他將看見繩質點沿著波形在「流動」。之所以選擇在波峰推導波速,是因為它的「流速」與「流動方式」可近似為繞曲率中心的圓周運動。如果你要用其他點,那可能需要經過底下幾個步驟:
      (1)找出其他點的曲率半徑,這可以透過波形方程式(ex: y=sin(x))來推導,可參考曲率半徑
      (2)尋找沿著向心方向的向心加速度,因為流速都是v,否則質點會堆積在某處,所以v^2/r = 向心加速度。
      (3)畫該點力圖—假設繩子水平張力處處相同,否則繩子整體會有水平加速度—並且連結繩張力與向心加速度的關係。
      (4)藉由(2)、(3),你應該可找到繩張力與v的關係,這應該就是你要的答案了。

      我沒實際算過,如果你成功算出來,很歡迎你跟我分享答案^^!

      我也不知道是誰想到的XD 關於你說的太完美的假設,我想可以在古典力學課本裡找到一些解釋!

  2. 想請問為何-2T\sin(\theta)近似-2T\theta為何要假設振幅遠小於曲率半徑呢?

    從數學上應只要theta接近0,兩者就會足夠接近

    • 很抱歉,都過了快一個月才回覆!老實說,我自己也想不太起來我一兩年前寫這文章時,為什麼會那麼強調了(><) 在想起來之前,我就先把那句刪除好了,感謝你! 另外,其實這推導方法雖然貌似合理了點,但最好的方法,還是從牛頓力學出發,推導出波動方程式。同時,也會自然地得到波速與張力、線密度的關係式。

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