位能的迷思

常在網路上看見學生詢問關於位能的問題,甚至有些老師也不太清楚什麼是「位能」,只希望能快點進入下一章節。常見的想法是「重力位能是屬於物體與地球之間的能量」、「每個物體都有相對應的重力位能」,這與國中的功能定理:「物體的能量是動能」有些出入。畢竟,如果物體的能量只有動能,那麼位能又是怎麼產生的呢?此外,什麼是「物體與地球之間」?「兩物之間」與「物體本身」是一樣的概念嗎?本文將先簡短說明功的意義,再藉由舉出凸顯困境的例子,以提出適當的位能解釋。


功即為能量的傳遞

在一光滑水平面上,放置著初速皆為零的A、B木塊。由於A木塊受到定力F,使得B受到A的正向力並向右位移d。

圖一,位於光滑桌面上的靜止木塊。由於 A 木塊受到定力 F,使 B 受到 A 的正向力並向右位移 d。

若將圖一中的 B 木塊視為系統,那麼由於 NAB 是 A 對 B 施的力,所以 A 對 B 作正功, WAB=NABd,A 傳遞給 B 如此多的能量。

無法解釋的困境與解決之道

座標系O位於兩球質心,使其為牛頓三大定律成立的慣性座標系。

圖二,座標系O位於兩球質心,因此O為慣性座標系。

位於 的觀察者[1],觀察到原先皆靜止的兩球因彼此的萬有引力而增加動能的現象,為了簡化問題,以下皆假設物體不自轉。根據圖一的能量傳遞解釋,我們也可以解釋:

由於 A系統受到 B系統的萬有引力所作的正功,所以 B系統傳遞能量給 A系統,使 A系統增加動能。同理,A系統傳遞能量給 B系統,使 B系統增加動能。

顯然這會導致矛盾,若 B 系統給 A 能量,則 B 系統必然損失能量,亦即減速。然而事實是B系統不僅沒有減速,甚至還加速,並且這些能量是從 A 系統取得的。根據因果的時空局域性(spatial temporal locality)[2],我們必須引入重力場的觀念以重新解釋 A 與 B 的受力情況[3]。由於重力場存在於整個空間,所以 A 受到的力並非來自B,而是重力場。我的解釋如下:

由於 A系統受到重力場(透過萬有引力)所作的正功,所以重力場傳遞能量給 A系統,使 A系統增加動能。同理,重力場傳遞能量給 B系統,使 B系統增加動能。最後,重力場因此失去能量,也就是俗稱的重力位能減少了。

以上的解釋適用於任何情境,而此解釋的理論基礎就是熱力學第一定律。

$$\Delta E=W+Q$$

上式中的 E 為系統狀態,也就是系統的總能量(不只是內能[4])。系統狀態的變化是由等號右邊的物理量所決定,W 為外界對系統作的總功,Q 為由外界傳入系統的熱能(或說,熱交互作用)。接著,只要我們選定系統,那麼即可由上式推導出該系統的能量形式。

圖三,藉由霧化效果使抽象的重力場具體化。

圖三,藉由黑霧使重力場具體化,g表示重力場系統。

如圖三,現在重新繪製了兩球受到的萬有引力,並將兩球受到的萬有引力改為來自重力場(g)。為了推導重力場的能量形式,我們必須將單獨的重力場視為系統,圖四為重力場的力圖。

再使用熱力學第一定律推導重力位能:

圖四,根據牛頓第三運動定律所繪製的重力場(黑色霧氣)系統力圖。

圖四,根據牛頓第三定律所繪製的重力場(黑霧)力圖。[5]

$$dE=W+Q\tag{1}$$

$$\because Q=0\tag{2}$$

$$\because W=\left(-F_{\text{Ag}}\right)dr_A+\left(+F_{\text{Bg}}\right)dr_B\tag{3}$$

$$\because F_{\text{Ag}}=F_{\text{Bg}}=\frac{Gm_\text{A}m_\text{B}}{r_\text{AB}^2}\tag{4}$$

$$\begin{aligned}\therefore W&=\frac{Gm_\text{A}m_\text{B}}{r_\text{AB}^2}\left(dr_B-dr_A\right)\\[2ex]&=\frac{Gm_\text{A}m_\text{B}}{r_\text{BA}^2}\end{aligned}\tag{5}$$

$$\begin{aligned}\therefore dE&=\frac{Gm_\text{A}m_\text{B}}{r_\text{BA}^2}\left(dr_\text{BA}\right)\\[2ex]&=d\left(-\frac{Gm_\text{A}m_\text{B}}{r_\text{BA}}\right)\end{aligned}\tag{6}$$

$$\therefore E\equiv-\frac{Gm_\text{A}m_\text{B}}{r_\text{BA}}+C\tag{7}$$

上式中的 C 值為任意常數。由於重力場系統的能量形式(表象)與物體位置密切相關,所以又被稱為重力位能以凸顯他的特性。

場源為物體與地球的重力場能量形式

雖然多質點造成的重力場系統很複雜,但仍可在任一慣性參考系推導出以下的重力位能一般式:

$$\therefore E\equiv\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1,j\neq i}^N\left(-\frac{Gm_i m_j}{r_{ij}}\right)+C\tag{8}$$

針對常見的地球與具有位移的物體共同造成的重力場系統,它們的質量分別為 M、m1、…、mN,且 M 遠大於 mi,那麼此重力場系統之重力位能為

$$E\approx\sum_{i=1}^N\left(-\frac{GMm_i}{r_{i,M}}\right)+C\text{ ; }r_{\text{i,M}}=R_e+h_i\tag{9}$$

為了方便計算,將「物體皆位於地表時的重力場能量」定義為零,

$$0\approx\sum_{i=1}^N\left(-\frac{GMm_i}{R_e}\right)+C\tag{10}$$

$$C\approx\sum_{i=1}^N\frac{GMm_i}{R_e}\tag{11}$$

$$E\approx-\sum_{i=1}^N\left(\frac{GMm_i}{R_e+h_i}-\frac{GMm_i}{R_e}\right)\tag{12}$$

$$\therefore E\approx\sum_{i=1}^N\frac{GMm_i}{R_e^2}h_i\tag{13}$$

$$\therefore E\approx\sum_{i=1}^N m_i gh_i\text{ ; }g\equiv\frac{GM}{R_e^2}\tag{14}$$

重力位能並不屬於地球與物體系統因為此系統仍只有動能重力位能應該屬於佔據所有空間的重力場系統。不論是動能還是位能都能夠,而且應該只能夠熱力學第一定律推導。為了將抽象重力場系統具體化,可在空間中佈滿黑霧,並利用牛頓第三定律解釋重力場的力圖。


[1] 只有在慣性座標系才能使用牛頓定律推得單質點系統之能量形式為動能,關於這點,之後我會於另文論述。簡單來說,非慣性座標系是無法討論任何基於「牛頓力學」的物理概念的。
[2] Marc Lange (2002). An introduction to the philosophy of physics : locality, fields, energy and mass. Wiley-Blackwell; 1 edition.
[3] 這種解釋與電路學中的電磁能傳遞方式是相同的,之後我會在發表一篇電路傳遞能量的迷思。簡言之,電磁能並非透過電流傳遞,電流反而是消耗電磁能的因素,而是透過佔據空間的電磁場。另外,引述 Robert P. Baumann 於〈Physics that textbook writers usually get wrong: I. Work〉的論述:

If we attribute potential energy to the ball at the top, we cannot properly calculate the work done on it, and hence energy transferred to, the ball in its descent. … It is, of course, convenient to think of objects in gravitational (or electric) fields as having potential energy. We can do that by redefining the system as ball plus field. Then the field can do no work on our system, as the ball goes up or down.

話說回來,我認為與其把系統囊括重力場(或電場),不如直接接受重力場具有能量(也就是位能)的論點。而相關的那些令人掙扎、不知為什麼我們應如此接受的想法,可參考我的另一篇文章——〈古典物理之重力場的意義分析〉。
[4] Robert P. Bauman (1992). Physics that textbook writers usually get wrong: II. Heat and energy. THE PHYSICS TEACHER, 30, 353–356.
[5] 注意,兩團黑霧並非指兩個重力場,由A、B場源形成的重力場只有一個。此外,黑點密度表示重力場強度,而非重力場位置。


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關於 Ethan

我是高英倫,79 年次,桃園人,現居住於台北士林。台大物理系、化工系學士,目前就讀於台大電子工程學研究所。自 2008 年開始接高中物理家教工作,現已接過至少 65 位家教學生。教過國高中數學、物理、化學與大學的微積分與普通物理學。目前以教大學普通物理為主。我的研究興趣是物理史及其哲學,以及它們在教育上的應用。
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