重力位能的迷思

常在網路上看見學生詢問關於位能的問題。常見的想法是「重力位能是屬於物體與地球之間的能量」、「每個物體都有相對應的重力位能」,這與國中的功能定理:「物體的能量是動能」有些出入。畢竟,如果物體的能量只有動能,那麼位能又是怎麼產生的呢?此外,什麼是「物體與地球之間」?「兩物之間」與「物體本身」是一樣的概念嗎?能不能說清楚位能在哪裡呢?本文將先簡短說明功的意義,再藉由舉出凸顯困境的例子,以提出適當的位能解釋。


功即為能量的傳遞

在一光滑水平面上,放置著初速皆為零的A、B木塊。由於A木塊受到定力F,使得B受到A的正向力並向右位移d。

圖一,位於光滑桌面上的靜止木塊。由於 A 木塊受到定力 F,使 B 受到 A 的正向力並向右位移 d。

若將圖一中的 B 木塊視為系統,那麼由於 NAB 是 A 對 B 施的力,所以 A 對 B 作正功, WAB=NABd,A 傳遞給 B 如此多的能量。

無法解釋的困境與解決之道

座標系O位於兩球質心,使其為牛頓三大定律成立的慣性座標系。

圖二,座標系O位於兩球質心,因此O為慣性座標系。

位於 的觀察者[1],觀察到原先皆靜止的兩球因彼此的萬有引力而增加動能的現象,為了簡化問題,以下皆假設物體不自轉。根據圖一的能量傳遞解釋,我們也可以解釋:

由於 A系統受到 B系統的萬有引力所作的正功,所以 B系統傳遞能量給 A系統,使 A系統能量增加。同理,A系統傳遞能量給 B系統,使 B系統能量增加。

首先,讓我們假設 A、B 系統只能夠擁有動能(見圖三)。而如果是這樣,那顯然會導致矛盾,若 B 系統給 A 能量,則 B 系統必然損失能量,亦即損失動能,減速。然而事實是 B 系統不僅沒有減速,甚至還加速,並且這些能量又是從 A 系統取得的。

(圖三)A、B 兩物體都只有動能的情況。

因此,A、B 系統顯然不能夠只有動能。但是,如果我們把這個特殊的能量稱之為位能,那也會有問題(見圖四)。假如 A 本身除了動能以外還具有著位能(注意:在此是單指 A,而非指 A、B 兩物體),那麼 B 給 A 能量時,B 顯然是把自己的位能給了出去,使得 B 的動能沒有任何減少,並且 A 獲得 B 的位能後,馬上將其轉換成(A)自己的動能。另一方面,因為 A 也給 B 能量,所以動能持續上升的 A 必定是把自己的位能交給了 B,使得 B 的動能增加。那問題出在哪呢?

(圖四)A、B 兩物體不只有動能,還有位能的情況。

這問題有兩個:

問題一:為什麼能夠隔空傳遞能量?

基於我們的直覺,原因與結果之間的距離必須是要多近就有多接近的(這點被稱為因果的時空局域性。我怎麼可能不透過電磁波或任何中介物質,從台北打電話到高雄呢?根據因果的時空局域性(spatial temporal locality)[2],我們必須相信空間中存在著另一種,有別於 A、B 兩物體的實體,以重新解釋 A 與 B 的受力情況[3]。由於重力場存在於整個空間,所以 A 受到的力並非來自 B,而是重力場。我的解釋如下(如圖五):

由於 A系統受到重力場(透過萬有引力)所作的正功,所以重力場傳遞能量給 A系統,使 A系統增加動能。同理,重力場傳遞能量給 B系統,使 B系統增加動能。最後,重力場因此失去能量,也就是俗稱的重力位能減少了。

以上的解釋適用於任何情境,而此解釋的理論基礎就是能量守恆定律(熱力學第一定律是它的特例,請參考 Serway 第八章)。

$$\Delta E=W+Q+ T_{MW} + T_{MT} + T_{ET} + T_{ER}+\cdots$$

上式中的 E 為系統狀態,也就是系統的總能量(不只是內能[4])。系統狀態的變化是由等號右邊的物理量所決定,$W$ 為外界對系統作的總功,$Q$ 為由外界傳入系統的熱能(或說,熱交互作用),$T_{MW}$ 為經力學波傳遞的能量(mechanical waves),而 $T_{MT}$ 為質量傳遞(mass transfer)伴隨的能量傳遞。$T_{ET}$ 則是關於電荷的能量傳遞(electrical transmission)。至於最後的 $ T_{ER}$ 則是指經由電磁波帶來的能量傳遞(electrical radiation)。

(圖五)重力場與兩物體的能量傳遞示意圖。

問題二:為什麼作功的定義怪怪的?

顯然,如果我們堅持(圖四)的想法,那麼我們就也必然在「雙箭頭」這件事上得到矛盾的結果。在圖四的實體架構下,A 對 B 或 B 對 A 的作用力必然互為反作用力。因此,倘若 A 對 B 作 $50\left.\mathrm{J}\right.$ 的正功,那麼 A 必然獲得 $50\left.\mathrm{J}\right.$ 的能量,而 B 必然同時失去 $50\left.\mathrm{J}\right.$ 的能量,如圖六所示。

(圖六)正常的能量傳遞現象。

然而,就算(圖六)是對的,那麼也會遇到先前的因果時空局域問題,以及該如何解釋兩物體同時對彼此作正功的矛盾定義(已經不是現象很奇怪的問題)。當然我們知道這顯然跟作用點有著不同位移有關,但如果我們覺得這樣已經足夠解釋這種矛盾定義問題。那麼我們又該如何理解這時的「功」的意義呢?還是說,此時已經不具有意義?此時它們是靠著有別於功、熱傳等的特殊機制來傳遞能量?

我認為只要能夠跟法拉第一樣,接受重力場的觀點,那麼就能圓滿解決上述一切的能量傳遞問題。底下是科學哲學家 Mary B. Hesse 在《Forces and Fields》第八章的內容節錄:

….But Faraday considers ‘That a body without force should raise up force in a body at a distance from it, is too hard to imagine; but it is harder still, if that can be possible, to accept the idea when we consider that it includes the creation of force….

There are only three possibilities consistent with the conservation of force:

1. That ‘the gravitating force of the sun, when directed upon the earth, must be removed in an equivalent degree from some other bodies, and when taken off from the earth (by the disappearance of the latter) be disposed of on some other bodies’, but no such thing has been observed.

2. That ‘it must take up some new form of power when it ceases to be gravitate, and consume some other form of power when it is developed as gravitation’, but Faraday himself has undertaken experiment with the object of connecting electricity with bodies moving in a gravitational field, with entirely negative results, and the idea has never been suggested by others.

3. That ‘it must be always existing around the sun through infinite space. This is the only possibility remaining:’ This case of a constant necessary condition to action in space, when as respects the sun the earth is not in place, and of a certain gravitating action as the result of that previous condition when the earth is in place, I can conceive, consistently, as I think, with the conservation of force: and I think the case is that which Newton looked at in gravity; is, in philosophical respect, the same as that admitted by all in regard to light, heat, and radiant phenomenon; and … is that now driven upon our attention in an especially forcible and instructive manner, by the phenomenon of electricity and magnetism.

底下是部分翻譯:

…..實在是很難想像一個沒有能量的物體,能夠從一個遙遠的物體獲得能量。而更難想像的是,倘若真是如此,那麼我們就不得不承認有所謂的「無中生有」的能量。

那麼,符合能量守恆定律的情況只有三種:

1. 太陽朝向地球靠近時,其他的物體必然會失去一樣多的重力位能(gravitation force)(以使地球能量增加)。而當太陽與地球互相遠離時,這些重力位能會分配到其他物體中。然而,法拉第認為我們並沒有觀察到這種現象。

2. 當太陽與地球太遠,以致於沒有受到什麼重力時,重力能量一定會轉換成其他形式的能量。並且當它們互相吸引時,這也必然同時代表著,其他形式的能量會在此時被消耗掉。然而,法拉第自己做了實驗,他將帶電物體放在有重力作用的範圍中使之運動,但並沒有觀察到這種轉換至其他形式的能量的現象。此外,其他物理學家也並沒有類似的想法。(註:法拉第在此顯然假設”其他形式的能量”應該是跟電磁有關的能量。)

3. 最後剩下的唯一可能就是,這些能量必然存在於太陽之外的無限空間之中 …..如我所設想的那樣,我能夠設想一個與能量守恆定律一致的情況,也就是說,我們此時談論的重力場 (the case) 應該就是牛頓看待重力的方式。以哲學角度而言,重力場就相當於我們對光、熱、輻射等現象的了解那樣,迫使我們以理解電磁現象的方式去理解、思考它們。…..

接著,只要我們選定系統,那麼即可由能量守恆定律推導出在場源已經存在,且場源位置有所變化時,重力場系統的能量變化,藉以推敲出在這種場源已經存在時的重力場數學形式。

圖三,藉由霧化效果使抽象的重力場具體化。

圖七,藉由黑霧使重力場具體化,g表示重力場系統。

如圖七,現在重新繪製了兩球受到的萬有引力,並將兩球受到的萬有引力改為來自重力場(g)。為了推導重力場的能量形式,我們必須將單獨的重力場視為系統,圖八為重力場的力圖。

再使用能量守恆定律推導重力位能:

圖四,根據牛頓第三運動定律所繪製的重力場(黑色霧氣)系統力圖。

圖八,根據牛頓第三定律所繪製的重力場(黑霧)力圖。[5]

由於目前只考慮功的能量傳遞,所以 $Q=0$,其他的能量傳遞(輻射、質傳、…)也為零:

$$dE=W+Q+ T_{MW} + T_{MT} + T_{ET} + T_{ER}+\cdots=W\tag{1}$$

而對於重力場所受的功,我們可寫為:

$$W=\left(-F_{\text{Ag}}\right)dr_A+\left(+F_{\text{Bg}}\right)dr_B\tag{2}$$

代入萬有引力公式:

$$\because F_{\text{Ag}}=F_{\text{Bg}}=\frac{Gm_\text{A}m_\text{B}}{r_\text{AB}^2}\tag{3}$$

$$\begin{aligned}\therefore W&=\frac{Gm_\text{A}m_\text{B}}{r_\text{AB}^2}\left(dr_B-dr_A\right)\\[2ex]&=\frac{Gm_\text{A}m_\text{B}}{r_\text{BA}^2}dr_{BA}\end{aligned}\tag{4}$$

$$\begin{aligned}\therefore dE&=\frac{Gm_\text{A}m_\text{B}}{r_\text{BA}^2}\left(dr_\text{BA}\right)\\[2ex]&=d\left(-\frac{Gm_\text{A}m_\text{B}}{r_\text{BA}}\right)\end{aligned}\tag{5}$$

接下來是相當重要的一步驟。根據第 (5) 式,我們從能量守恆定律可以推得的資訊,只有在場源移動時的重力場能量變化量,而沒有辦法推得重力場的能量究竟是多少(第 (6) 式)。因此,接下來的第 (6) 式告訴我們的,是在場源都存在,而沒有物質的增加或消失時,重力場的能量的可能形式。換言之,如果宇宙的質點只有一個,那麼就無法使用上述方法推得重力場的能量變化,但這不表示只有一個質點的宇宙之中的重力場沒有能量。另一方面,如果質量無中生有,那麼也沒辦法從上述方法推得重力場的能量變化,但這不表示沒有能量(這比較接近哲學議題)。

$$\therefore E\equiv-\frac{Gm_\text{A}m_\text{B}}{r_\text{BA}}+C\tag{6}$$

上式中的 C 值為任意常數。由於重力場系統的能量形式(表象)與物體位置密切相關,所以又被稱為重力位能以凸顯他的特性。

場源為物體與地球的重力場能量形式

雖然多質點造成的重力場系統很複雜,但仍可在任一慣性參考系推導出以下的重力位能一般式:

$$\therefore E\equiv\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1,j\neq i}^N\left(-\frac{Gm_i m_j}{r_{ij}}\right)+C\tag{7}$$

針對常見的地球與具有位移的物體共同造成的重力場系統,它們的質量分別為 M、m1、…、mN,且 M 遠大於 mi,那麼此重力場系統之重力位能為

$$E\approx\sum_{i=1}^N\left(-\frac{GMm_i}{r_{i,M}}\right)+C\text{ ; }r_{\text{i,M}}=R_e+h_i\tag{8}$$

為了方便計算,將「物體皆位於地表時的重力場能量」定義為零,

$$0\approx\sum_{i=1}^N\left(-\frac{GMm_i}{R_e}\right)+C\tag{9}$$

$$C\approx\sum_{i=1}^N\frac{GMm_i}{R_e}\tag{10}$$

$$E\approx-\sum_{i=1}^N\left(\frac{GMm_i}{R_e+h_i}-\frac{GMm_i}{R_e}\right)\tag{11}$$

$$\therefore E\approx\sum_{i=1}^N\frac{GMm_i}{R_e^2}h_i\tag{12}$$

$$\therefore E\approx\sum_{i=1}^N m_i gh_i\text{ ; }g\equiv\frac{GM}{R_e^2}\tag{13}$$

結論

重力位能並不屬於地球與物體系統。只有當重力位能屬於佔據所有空間的重力場系統時,才能夠一致地解釋能量傳遞、功的意義以及因果關係,如圖五所示。不論是動能還是位能都能夠,而且應該只能夠能量守恆定律推得。為了將抽象重力場系統具體化,可在空間中佈滿黑霧,並利用牛頓第三定律解釋重力場的力圖。

(圖五)重力場與兩物體的能量傳遞示意圖。


[1] 只有在慣性座標系才能使用牛頓定律推得單質點系統之能量形式為動能,關於這點,之後我會於另文論述。簡單來說,非慣性座標系是無法討論任何基於「牛頓力學」的物理概念的。
[2] Marc Lange (2002). An introduction to the philosophy of physics : locality, fields, energy and mass. Wiley-Blackwell; 1 edition.
[3] 這種解釋與電路學中的電磁能傳遞方式是相同的,之後我會在發表一篇電路傳遞能量的迷思。簡言之,電磁能並非透過電流傳遞,電流反而是消耗電磁能的因素,而是透過佔據空間的電磁場。另外,引述 Robert P. Baumann 於〈Physics that textbook writers usually get wrong: I. Work〉的論述:

If we attribute potential energy to the ball at the top, we cannot properly calculate the work done on it, and hence energy transferred to, the ball in its descent. … It is, of course, convenient to think of objects in gravitational (or electric) fields as having potential energy. We can do that by redefining the system as ball plus field. Then the field can do no work on our system, as the ball goes up or down.

話說回來,我認為與其把系統囊括重力場(或電場),不如直接接受重力場具有能量(也就是位能)的論點。而相關的那些令人掙扎、不知為什麼我們應如此接受的想法,可參考我的另一篇文章——〈古典物理之重力場的意義分析〉。
[4] Robert P. Bauman (1992). Physics that textbook writers usually get wrong: II. Heat and energy. THE PHYSICS TEACHER, 30, 353–356.
[5] 注意,兩團黑霧並非指兩個重力場,由A、B場源形成的重力場只有一個。此外,黑點密度表示重力場強度,而非重力場位置。


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關於〈重力位能的迷思〉,寫得還可以嗎?

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關於 Ethan

我是高英倫,79 年次,桃園人,現居住於台北士林。台大物理系、化工系學士,目前就讀於台大電子工程學研究所,未來希望能朝向關於固態物理、半導體物理的研究前進。自 2008 年開始接高中物理家教工作,現已接過至少 65 位家教學生。教過國高中數學、物理、化學與大學的微積分與普通物理學。目前以教大學普通物理為主。關於物理教學研究,我興趣是物理史及其哲學,以及它們在教育上的應用。
本篇發表於 功與能量, 物理教育, 萬有引力與重力場, 高二物理 並標籤為 , , , , 。將永久鏈結加入書籤。

重力位能的迷思 有 6 則回應

  1. 訪客 說道:

    有一點不懂想請教的是:
    "與其把系統囊括重力場(或電場),不如直接接受重力場具有能量(也就是位能)的論點。"
    重力場的能量是否也是由兩物間的質量與距離來定義?
    那麼是不是用原本的說法:重力位能是屬於兩具質量物體之間的能量?也可以呢?
    您的意思是說 國中所說的 "物體的能量是動能" 較不完整,而高中所說的,"系統的重力位能由兩物共同建立",較完整呢?
    謝謝

  2. Ethan 說道:

    「重力場的能量是否也是由兩物間的質量與距離來定義?」

    重力場的能量確實是由此計算出來的,而且不只能量,就連重力場的強度也是如此。但我們得釐清一點,我們正在做的事情,不是在問說這些場的強度跟什麼物理量有關係,而是重新去思考這世界的實體有哪些。也就是說,我們真正做的事情,是根據我們的直覺去重新"詮釋"同樣的數學公式,為公式賦予截然不同的意義。

    $$\vec{F}=-\frac{GMm}{r^2}\hat{r}$$

    $$\vec{F}=\frac{kQq}{r^2}\hat{r}$$

    如果我們相信只有質點或點電荷的存在,那麼當兩質點(點電荷)互相排斥時,我們就必須說兩質點(點電荷)隔空交換能量。但這詭異的地方就在於,(1) 任意的直接因果距離以及 (2) 在功的意義不變的前提下,能量是不守恆的。底下我以常見的電荷為例,說明場的意義。

    關於 (1) 任意的因果距離:

    設想兩同性點電荷間隔 1 光年遠,常見的"說法"是,它們正在互相排斥著。這種"說法"讓我們不滿意,因為兩點電荷怎麼能夠時時刻刻知道彼此距離,而且還將能量直接跨過這 1 光年,傳到對方那裡去?這不就像當於隔空抓藥嗎?如果我們仔細探究這"說法"背後的假設,我們不難發現,如果在兩點電荷之間加上一個新的物體(實體),並且重新詮釋這兩點電荷越來越遠的現象:

    (a) 這兩點電荷並非互相排斥,而是這兩點電荷正在被它們之間的電場推擠中。

    (b) $F=kQq/r^2$ 並非兩點電荷之間的斥力,而是電場對兩點電荷各自施予的力。

    如果我們改變對世界實體構成的認知,相信它們之中有場的存在,那麼就也得連帶改變我們對互相遠離的現象以及掌握兩者運動的數學公式的解讀、詮釋。

    關於 (2) 能量不守恆:

    基於常見的互相排斥說法,這兩同性互斥點電荷正互相對彼此作正功。而問題就在於,所謂的功,必須是能量傳遞的管道之一。根據功的 $dW=\vec{F}\cdot d\vec{r}$ 表示法,我們可由兩者正經歷不同的位移,而得知它們對彼此作的功是不一樣的。倘若我們相信宇宙只有兩點電荷的存在,那麼當然必須將功解釋為兩點電荷藉電力傳給彼此的能量。但是,如果真要這樣解釋兩電荷能量增加的現象,那就算無視兩者對彼此所作的功並不同的奇怪現象,我們也不得不得出兩電荷動能越來越大的事實。而這就顯然造成了能量不守恆的窘境。

    一個常見的解套方法是,我們得相信,這動能是來自所謂的電位能。

    我們會說,兩點電荷的動能是來自「兩點電荷的電位能」。但這問題仍然是很大的,因為這電位能原先是位於何處呢?如果我們說,這電位能原先都是位於兩電荷之中,那麼又該如何解釋功的能量傳遞意義?畢竟這時顯然兩電荷並沒有互相傳遞能量,它們的動能增加量,不過是源自自己內在儲存的電位能。而這同樣會遇到 (1) 任意的因果距離問題,因為電荷是如何同步"知道"對方與自己的距離,並同時轉換等量的電位能為動能?再者,如果電位能是所謂的「存在兩電荷之間」,那麼這能量究竟是存在還不存在呢?如果我們相信電位能存在於兩電荷之間,那麼為什麼當我們不能夠討論位於某一電荷中的電位能有多少呢?這種「不能討論」似乎只是「不要問」而已,沒有任何物理上的根據。再來,而如果可以討論儲存在電荷中的位能有多少,那麼又該如何使 (c) 電荷的動能是來自儲存於自身的電位能,以及 (d) 功的意義是能量傳遞的管道兩個命題同時成立呢?

    然而,只要我們改變對世界的認知,開始相信有場的存在,相信有電場與重力場的存在,使得兩質點並非互相吸引,而是互相被重力場往向心方向"拉扯";使得兩同性電荷並非互相排斥,而是互相被電場往離心方向"推擠";使得兩異性電荷並非互相吸引,而是互相被電場往向心方向"拉扯"——一切都是接觸力,那麼上述一切問題都能迎刃而解。

    (1) 因果局域性問題

    因果此時不再是有著要多遠就有多遠的空間間隔,而是緊鄰彼此的。使 A 質點/電荷向右加速的原因,不是距離它很多公里外的 B 質點/電荷,而是就在它位置上的場的作用。

    (2) 能量傳遞問題

    兩質點互相接近時所增加的動能,並非來自儲存於自身的某種能量,而是儲存於重力場中的能量,我們稱之為重力位能。兩同性電荷互相遠離時增加的動能,也不是來自儲存於自身的某種能量,而是儲存於位於空間中的電場中的能量,我們稱為電位能。這個場,互相接觸著這些場源(質點、點電荷),並將能量藉由功的管道傳遞給這些場源。

    這樣這些問題就都解決了。

    當然,就如同物理學家不在乎亞里斯多德物理學、牛頓力學有哪些錯誤或盲點,物理學家也不在乎已過時的重力場觀念,因為,站在追求真理的角度而言,牛頓力學中的萬有引力理論已是過時的理論,它不能夠解釋太多現象,早就被廣義相對論取代。因此,我並非站在「只能傳授正確的真理」的角度去看待「我們應該教什麼」。站在要教育的立場而言,我們想要的如果是傳授一致融貫的理論,那麼我認為確實應該修正甚至是增進我們對場的理解,這樣才能夠達到目的。當然,如果我們只是如常見的、傳統的風氣一樣,在教育上只要馬馬虎虎地教就可(多數人如此),那以上這一切對這些人來說當然是沒意義,只是自討苦吃罷了。

    而之所以人們更相信有電場,而比較不相信有重力場,是因為電場與磁場的理論中蘊含了可解釋光現象的電磁波概念,但重力場理論似乎沒有這樣的對應。至於所謂的「重力波」是不是這種對應?我就不敢說了,我個人是相信「不是」,因為我認為那應該只能由廣義相對論的角度來理解,而跟古典物理中的萬有引力是沒關係的。不過,我也不是這方面的專家,所以整體來說我是不知道的。

    以上想法供你參考 ^^

  3. Ethan 說道:

    再補充幾點:

    「重力場的能量是否也是由兩物間的質量與距離來定義?」

    1. 重力場能量的數學公式確實是跟兩質點質量、距離有關,就如同電位能公式那樣。然而,就我的想法,我認為應該為這公式賦予不同的意義。我們可以這麼解讀:公式中之所以有兩質點質量,是因為A質點受到的重力場確實來自B質點的創造。是B質點在A質點的位置上建立了重力場,因此,就場源的角度而言,A點所在位置的重力場強度包含了B質點質量就是理所當然的。至於能量則是,我們的重點在於能夠建立一個「獨立於路徑」的能量變化通式:

    $$\Delta E = W + Q = E(r_f)-E(r_i)$$

    而這通式告訴我們,重力場的能量應該是

    $$E(r)=-\frac{GMm}{r}+C$$

    從重力場施力 $\vec{F}=m\vec{g}$ 的角度來看,因為重力場強度 $\vec{g}\equiv -GM/r^2\;\hat{r}$,所以表達重力場能量的公式與 $m$、$M$ 有關,是很理所當然的。或者,就以重力場的來源而言,既然空間的重力場是由兩質點 $M$、$m$ 所建立,那麼重力場的能量當然會與 $m$、$M$ 有關係。

    「那麼是不是用原本的說法:重力位能是屬於兩具質量物體之間的能量?也可以呢?」

    2.就我前一篇的說法來看,我認為重力位能不該是「屬於兩具質量物體之間的能量」,因為這顯然沒辦法讓人弄清楚,究竟這能量「在哪裡」?以及,該如何解釋兩物質互相接近而增加的動能由來?究竟是誰傳給誰能量?還是自身的位能轉換給自身的動能?那這時又為什麼可以無視「功」的能量傳遞意義?我對這些問題的想法就是上一篇回覆的內容。

    「您的意思是說 國中所說的 "物體的能量是動能" 較不完整,而高中所說的,"系統的重力位能由兩物共同建立",較完整呢?」

    3. 不是的。我對於「物體的能量是動能」說法並不是很嚴謹,因為事實上,物體也可以具有所謂的內能或是其他形式的能量。對此,我會說「在這過程中,我們可觀察到物體具有一種寫為 $1/2 mv^2$ 的能量,我們稱之為動能」。而不去談物體的能量有什麼,為物體的能量設下限制。高中所說的「重力位能是由兩物體共同建立」正好是我所不支持的說法,因為這會遇到上篇回覆中我提到的種種問題。

    • Chen Che Yin 說道:

      您好我是上方留言的訪客

      想請教的是,如果把能量視為儲存在"場"中,是不是把"兩個電荷"與其之間的"場"看成是三個東西呢?但這樣好像有點怪怪,因為場應該要由他們來建立才是阿?

      而在高中階段,場的概念好像是將作用力除以其中一個參考電荷?
      我覺得除以參考電荷之後的電場,似乎就跟源電荷是一體的了,只要有源電荷,就有了電場

      但這個電場我會覺得他是是用超距的,非接觸的力,去對另一個電荷作用。(若說是另一電荷"接觸"到空間中的場,好像就可以,但看不到摸不著的場,不知如何算是"接觸")

      所以我是覺得電場是電荷的一個內秉特性,電荷透過場可以對另一電荷施力,但是否這時再強調接觸與否其實沒有太大意義?總之,我覺得一個想像看不到的場去接觸電荷,有點怪。

      而如果說位能是能量儲存在場中,那麼單一點電荷時,其所製造的場具有能量,這個能量應該如何表示呢?

      我覺得是否還是要由兩個點電荷,才能寫出其中一個點電荷的場與另一點電荷之間所具有得能量?

      另外有點不懂的是,以我目前初淺的認知,以為電場是由電荷所建立,是電荷的內在秉性

      而重力場則是由質量所建立,因為數學形式一樣,所以我以為在"場的建立"這概念上,兩者是相似的。

      總之,如果看成電場對兩點電荷施力,但此電場又至少是其中一點電荷存在才建立的,而要有能量的釋放也需要有另一個電荷才能做到

      所以是否電位能還是需要由兩個點電荷才能存在呢?

      不好意思,敝人資質愚鈍,您可能已經表達很清楚了,但我還不太了解

      謝謝!

      • Ethan 說道:

        您好,您謙虛了,我覺得您的問題有問到我心坎裡,很高興能夠有機會與人討論這些問題。

        「想請教的是,如果把能量視為儲存在"場"中,是不是把"兩個電荷"與其之間的"場"看成是三個東西呢?但這樣好像有點怪怪,因為場應該要由他們來建立才是阿?」「我覺得除以參考電荷之後的電場,似乎就跟源電荷是一體的了,只要有源電荷,就有了電場」

        是的,我的想法確實是將"兩個電荷"與其之間的"場"視為三個東西,而且這三者它們彼此互相接觸著。我想我大概可以想像你的疑慮,畢竟我們好像無法設想獨立於電荷的「場」究竟是什麼。但至少我們可以說,就我的觀點而言,場以及那兩個電荷,各自佔據著不同的空間。一個簡單的例子是:「太陽發出太陽光,太陽光應該不同於太陽,太陽光就是電磁波,電磁波應該不同於太陽,電磁波中的電場應該不同於太陽中的電荷,電場應該不同於電荷。」以上述例子來說,我們或許可感受到電場與場源的不同。

        「而在高中階段,場的概念好像是將作用力除以其中一個參考電荷?」

        我教電場或重力場的方法是基於「場是存在著的、獨立於場源的實體」的想法,而這之中最重要的關鍵,就在於對引力公式的新詮釋。公式是正確的,可驗證的,但這公式背後所蘊含的世界組成,則是我們對這公式的解讀或詮釋了。我的想法或說教學方法複雜許多,可以參考我在〈古典物理之重力場的意義分析〉中的〖萬有引力公式的新詮釋〗小節,我在這詳細說明我對「場」概念的理解。

        「但這個電場我會覺得他是是用超距的,非接觸的力,去對另一個電荷作用。(若說是另一電荷"接觸"到空間中的場,好像就可以,但看不到摸不著的場,不知如何算是"接觸”)」

        在有電場概念之前,兩電荷之間的作用,確實跟隔空抓藥沒有差別。A電荷確實隔空對B電荷作用。A電荷確實莫名其妙地知道B電荷應該獲得多少焦耳的能量,並直接把能量丟了過去。但在有場概念之後,才有了 Maxwell 對乙太介質上的電磁波的想法,才將電荷所受的力量視為場對電荷的施力。因此,嚴格來說,A電荷沒有接觸到B電荷,所以沒有對B電荷施力。但是,處於兩電荷之外的空間的電場,則對兩電荷施予接觸力。而倘若你所說的「看」與「摸」相當於電磁波對你的色錐細胞所施的力,對表皮細胞中電荷所施的力(曬太陽越曬越熱),那麼或許這就是一種「看與摸」囉。

        「所以我是覺得電場是電荷的一個內秉特性,電荷透過場可以對另一電荷施力,但是否這時再強調接觸與否其實沒有太大意義?總之,我覺得一個想像看不到的場去接觸電荷,有點怪。」

        如我剛才所舉的陽光例子,你會怎麼解釋眼睛看見物體的現象呢?

        (1) 物體上的電荷對你眼睛上的電荷”直接”施力,使你看見物體
        (2) 物體上的電荷對你眼睛上的電荷”間接”施力,藉由它發出的電磁波,使你看見物體。
        (3) 你是看見電磁波,還是看見物體本身的顏色?物體的顏色就是電磁波嗎?

        至於為什麼我強調接觸,是因為我認為這樣才能正確使用能量守恆定律(如這篇文章一開始所說的一切)。

        「而如果說位能是能量儲存在場中,那麼單一點電荷時,其所製造的場具有能量,這個能量應該如何表示呢?我覺得是否還是要由兩個點電荷,才能寫出其中一個點電荷的場與另一點電荷之間所具有得能量?」

        我覺得這個問題非常好,如何表示單一電荷的電場能量?事實上,常見的電位能寫法是源自寫作 $\Delta E=W+Q+…$ 的能量守恆定律。首先我們設想有 $n$ 個電荷,倘若我們希望這些電荷能夠從初始位置,以等速度運動的方式,移動到各自的末位置,那麼由於電荷之間彼此受到庫侖力的緣故,我們必須對它們施加力量,給予一個足夠小的速度,使得所有電荷的動能總和遠小於在移動所有電荷時,對這些電荷作的功。而假如我們自己設定,當所有電荷距離越來越遠時,電場的能量會越來越靠近零。那麼,我們可以得到:$$W=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^nq_i\left( \sum_{j=1,j\neq i}^n \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_i}{r_{ij}} \right)$$值得注意的是,這是在這 $n$ 個電荷早已存在著的情況下,並自行設定能量為零的電荷分佈情況,所得到的電場能量。

        因此,這公式只能夠告訴我們,在電荷已經存在的情況下,相對於某參考電荷分佈而言所經歷的電場能量變化。而沒有辦法告訴我們,電荷在存在之前與之後的空間能量變化。因此,就你所說的「單一點電荷的電場能量」而言,因為能量守恆定律 $$\Delta E=W+Q+…$$ 只能給出能量變化,而不能給出能量,所以除非我們能描述電荷產生與增加的過程,否則沒辦法給出你所說的能量。我的直覺是,或許原子核物理學中的成對產生(pair production)可以描述電荷從無到有伴隨的電場能量變化過程。

        不過,很妙的是,在電磁學中(參考 Griffiths),我們有著另一個電位能公式,並且是不同於上述位能公式的「公式」:$$W=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n q_iV(r_i)\to W=\frac{1}{2}\iiint\rho Vd\tau$$在 Griffiths 第二章有提到,這兩個公式的差別在於前者的電位只考慮「其他電荷」造成的電位,而不考慮「自己對自己造成的電位」,並計算這種 $r\to 0$ 的「無窮大電位能」,而後面的公式確實有考慮這個值,但是在電荷連續分布的情況下,因為此時位於任何””一點””的電荷量是趨於零的(設想體電荷密度為 $1C/m^3 \times e^{-|x|}$ 的連續電荷分佈,在 $\Delta x\to 0$ 的情況下,電荷量也必然趨於零,$Q=\lambda \Delta x$),所以這兩個公式就是相同的了。而在這情況下,我們可以推導出所謂的電能密度:$$u_E=\frac{\epsilon_0}{2}E^2$$由此我們會發現一些很神奇的東西,似乎””可以詮釋””為你想要的「單一點電荷的電場能量」。

        考慮 A、B 兩點電荷,在這兩點電荷都存在時,整個空間的電場能量為:

        $$\begin{align}U_e&= \frac{\epsilon_0}{2}\int E^2d\tau \\[4ex] &= \frac{\epsilon_0}{2}\int (\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2)^2d\tau \\[4ex] &= \frac{\epsilon_0}{2}\int (E_1^2+E_2^2+2\mathbf{E}_1\cdot\mathbf{E}_2)d\tau \\[4ex] &= U_1+U_2+\epsilon\int \mathbf{E}_1\cdot\mathbf{E}_2d\tau\end{align} $$

        首先,我們可以想見 $U_1=U_2$,而它們等於多少呢?

        $$U_1=\frac{\epsilon_0}{2(4\pi\epsilon_0)^2} \int\left(\frac{q^2}{r^4}\right)(r^2\sin\theta\;dr\;d\theta\;d\phi)=\frac{q^2}{8\pi\epsilon_0}\int_0^{\infty}\frac{1}{r^2}=\infty $$

        這就是在說,在上述的「連續電荷分佈的電位能」公式中,如果你將 $U_1$ 詮釋為 1 號電荷造成的電場能量,那麼我們可以得到「單一點電荷造成的電場的能量是個不存在著的數字,要多大就有多大」的結果。而這是很好理解的,因為我們考慮的是半徑趨於零的電荷使空間中存在著要多大就有多大的電場,所以空間中的電能當然也就要多大有多大。然而,如果你將點電荷視為半徑 R 的金屬圓球,電荷只均勻分布在表面上,那麼電場能量就不會不存在,而會是個有限值(詳見 Griffiths 第二章某例題,目前忘記是哪一題)。當然,如果你不這樣詮釋,那就不會有這結果,只不過就也不知道怎樣理解 $U_1$ 與 $U_2$。另一方面,更有趣的在於最後面那一項:$$\epsilon\int \mathbf{E}_1\cdot\mathbf{E}_2d\tau$$就我了解,這一項會等同於(目前我還沒推導出來):$$\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0 r}$$

        說了這麼多,還沒說到底為什麼應該將下式視為空間中的電場能量:$$\frac{1}{2}\iiint \rho Vd\tau$$就我了解,主要是因為 Poynting’s theorem 導致的。這內容很多很多,我只能說,我個人”覺得”(並不確定)電場能量究竟應該是什麼,還是很有爭議的。詳見底下這篇論文,如有興趣可以再討論討論:Electromagnetic Potentials Basis for Energy Density and Power Flux

        上述是關於單一電荷造成的電場能量的看法,但是古典的重力場似乎就沒有這種理論。不過,我原先的想法並非是談廣義相對論中的重力場,而是在談國高中物理中所涉及的重力位能概念,如果要一致融貫地談這些想法,那在考慮重力場的情況下,是可以達到這效果的。

        最後還有一點想跟您說,事實上,我覺得我需要修改這篇文章的許多內容,主要是關於為什麼常見的「位能說法不正確」的原因。我剛才發現到我有些說法並不夠準確,推論不夠嚴謹,所以我需要修改它。但是因為時間實在是太少了,所以我可能要過陣子才有時間好好修改。而不正確的地方在於,在主流位能觀點下(位能為兩物體共有的能量),即便A傳給B能量,並不一定是讓B增加動能,而可能是讓B增加位能。因此,並不必然造成「A傳給B能量,使B動能增加。並且B傳給A能量,使A動能增加」的結果。但確實使「功」不再具有能量傳遞的意義。因為,對於同一件能量傳遞而言,當A傳能量給B時,B的能量就必然增加,而A能量必然減少。怎麼可能兩者同時對彼此作正功呢?因此,除非我們捨棄常見的「功的能量傳遞意義」,否則就必須重新詮釋 $W_{AB}$ 的意義,對我而言,就是需要將它詮釋為重力場分別對A與B作正功。

        詳細理由實在難以一言以蔽之,我再找時間好好改寫一下文章…

        (可參考我今天剛回的一篇文章:R: [問題] 功能定理觀念

        抱歉一直都很忙碌,要好好回應這些困難的問題,還真的需要花很多時間。光是上面這些內容,我就大概打了四個小時 QQ。很抱歉回得這麼慢,不好意思!

      • Ethan 說道:

        剛才我看到有位網友的回覆:

        R: [問題] 功能定理觀念

        「關於後來回應講一堆重力場的大大。雖然重力場聽起來很酷,但是重力場只是當空間中每個地方重力不一樣的概念罷了。引入另外一個看起來很酷的概念但是沒有回答到問題,反而會讓自己和對那個問題有興趣的人更容易迷糊。

        甚至你把“重“拿掉,可不可以有別種力場?比方說彈力場?不一樣空間彈力不一樣大?固體裡面聲波的傳遞就是這種東西。你可以拿出一堆彈性學張量分析,彈性係數還不是係數是張量。可是這都沒解決問題啊?只會讓人搞不清楚你到底想講啥。科學教育的本質應該是讓大家更了解科學的理性,針對問題可以回答。而不是一個明確定義的問題把它答到另外一個概念上換觀念討論。通常只有政客或是你在指導博士班學生才會這樣做。

        身為一個木塊,我根本沒辦法分辨拉我的是彈簧還是地球。身為木塊我只認識牛頓。3牛頓的力,我就做3牛頓的事。我根本不管是誰拉我。」

        我相信很多人也是這樣看待我這篇或另一篇關於重力場的文章,我只能說這差別在於科學實在論與反實在論,我個人希望物理教育或物理學本身是建立在實在論之上,但就我所知,現在應該是「能算得出來並與實驗一致」為唯一標準的工具主義居多。對我個人而言,我希望一個物理理論不只能算得出來,跟實驗一致,也要能夠探討這理論跟我們的直覺是否一致,是否更讓我們了解這世界運作的機制等。

        總而言之,我只是想說,因為我清楚已經很少人是科學實在論者,把這回覆貼給你參考。感謝你這樣耐心跟我討論。

        我一直都沒找到清楚說明重力場的方法。當我想直線說下去時,就會想到有很多反駁的理由,我就會岔開來去回應,最後就搞得整個敘述非常零散。這應該算是寫作問題了,我還無法簡單表達這麼複雜的概念。而很多時候我覺得我講的東西,別人也沒看懂(不是指您),甚至是沒看,所以我就有點無力去談這些想法。還是自己打打網誌讓自己開心就可(苦笑)。

        感謝您的耐心閱讀啦!

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