關於「知道」的無效論證

  • 前提、你知道「曹操是三國時代的人」
  • 前提、你知道「曹操等於曹吉利」
  • 結論、你知道「曹吉利是三國時代的人」

前提為真時,結論不可能為假嗎?是可能的,所以是無效論證,但為何它看起來很像有效論證呢?


仔細想想,這確實不是有效論證,因為我們很容易找到如下的數學推理反例:

  • 前提、你知道 L1 是 xy-2x-2y+3 = 0
  • 前提、你知道 L2 是 x2+2xy+y2 – 36 = 0
  • 結論、你知道 L1 與 L2 有三個交點

曹操案例與數學推理反例的共通點就是,認知主體於前提所知道的命題——「曹操是三國時代的人」、「曹操等於曹吉利」——確實邏輯蘊涵結論中認知主體所知道的命題——「曹吉利是三國時代的人」。如果上述論證是有效論證,那數學就太好教了!可是很多時候就是「沒想到」。儘管這麼說並沒有解釋到為什麼我們會有「它是有效論證」的錯覺。在先擱置 Gettier Problems 的前提下,我們可回顧一下傳統的知識標準分析:

若 S 知道 P,若且唯若,

  1. (Truth):P 是真的
  2. (Belief):S 相信、接受 P
  3. (Justification):S 有好理由支持 P 是真的

因此,我們可將曹操例子中的前提與結論分別使用「S 知道 P」的充要條件替換如下,其中 T 表真理要件、B 表信念要件以及 J 表證立要件:

  • T1:「曹操是三國時代的人」是真的
  • B1:你相信「曹操是三國時代的人」
  • J1:你有好理由支持「曹操是三國時代的人」是真的
  • T2:「曹操等於曹吉利」是真的
  • B2:你相信「曹操等於曹吉利」
  • J2:你有好理由支持「曹操等於曹吉利」是真的

而我們的結論(conclusion)可改寫為:

  • Tc:「曹吉利是三國時代的人」是真的
  • Bc:你相信「曹吉利是三國時代的人」
  • Jc:你有好理由支持「曹吉利是三國時代的人」是真的

如果那是有效論證,那麼結論中的每個命題都由前提所邏輯蘊涵。

首先針對 Tc,顯然 T1、T2 確實邏輯蘊含 Tc。令 a 為曹操,b 為曹吉利,F 為「___是三國時代的人」。所以,它的等同論證為:

  1. (x)(y)(F)(x=y≡(Fx≡Fy))
  2. Fa
  3. a=b / Fb

其中的(1)為萊布尼茲等同律[1]。因此, T1、T2 邏輯蘊涵  Tc

接著針對 Bc,雖然曹操的例子直觀到讓人們覺得,只要 B1、B2 成立,那麼 Bc 也成立。然而從上述的數學推理反例可知這是不一定的,這是使「曹操論證」為無效論證的主要理由。另外,我們不見得有能力由前提(已知的命題)推理出結論(未知的命題)。因此,我們缺乏好理由以支持結論為真(Jc)。

結論

因為具有邏輯蘊涵關係的命題,其信念與證立命題並不具有邏輯蘊涵關係,所以底下論證並非有效論證:
前提一:S 知道 P1
前提二:S 知道 P2
結論:S 知道 Q,其中 (P1 且 P2) 邏輯蘊涵 Q。

[1] 萊布尼茲等同律:任何兩個個體,如果是等同的,那麼兩者具有完全相同的性質;反之,如果任何兩個個體具有完全相同的性質,則兩者是等同的。

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