質點概念所暗示的接觸定義

從國高中生們正在學習的牛頓力學出發,根據牛頓力學預設的質點概念,我們應該如何理解「半徑為 $5\left.\mathrm{cm}\right.$」的圓盤面積呢?是 $R\leq5$ 還是 $ R<5$ 呢?就這篇文章的論述,我個人給出 $ R<5 $ 的答案。這篇文章的目的,不在於讓讀者更瞭解當代原子與分子的概念。畢竟,我相信許數人或多或少都聽過量子力學、原子軌域,甚至是海森堡的不確定原理、哥本哈根詮釋,以及看過底下的薛丁格方程式:

$$\hat{H}\left|\Psi\left(\mathbf{r},t\right)\right\rangle=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\Psi\left(\mathbf{r},t\right)\right\rangle$$

也就是說,這篇文章的目的不在於追求真理,介紹當代科學對物質結構的認知。這篇文章的目的,是為了談談古典力學中經常使用的質點概念所蘊涵的接觸意義。這些內容也不是我首先設想、考慮的,這是我幾年前在物理哲學家 Marc Lange 教授的《An Introduction to Philosophy of Physics》一書所讀到的內容。在我消化過後,完全用自己的理解所呈現出來的論述,寫文章時沒有再去翻閱書籍。

希望我能夠藉由這篇文章,讓讀者能夠從另一個角度:「接觸是什麼意思?」,稍微理解為什麼當代科學對物質體積的看法,漸漸由「具有邊界的範圍」的觀點,轉變為「不具有邊界的範圍」——場。因為即便是牛頓力學也可能需要賦予體積概念如此這般的數學詮釋


考慮兩個半徑為 $5\left.\mathrm{cm}\right.$ 的 A、B 圓盤,所謂的半徑為 $5\left.\mathrm{cm}\right.$的圓盤,是什麼意思?目前就我所能設想的,只能有兩種坐標系詮釋“:

「圓盤半徑為 $5\left.\mathrm{cm}\right.$」的坐標系詮釋:
1. $R\leq 5$
2. $R<5$

再來,我們直覺的接觸意義,應該會使得這兩圓盤的圓心位於 \(x=0\) 與 \(x=10\) 兩坐標點上,或許我們的直覺有錯,不過我們待會再來想這問題。因此,我們先來討論第一種坐標系詮釋:\(R\leq 5\)。對於這種想法,因為 \(|5-10|=5\) 且 \(|5-0|=5\),所以 \(x=5\) 這個點必定共同屬於這兩圓盤。但這符合我們的直覺嗎?畢竟,在兩圓盤接觸以前,A 圓盤的右側必定有個與圓心相距 \(5\left.\mathrm{cm}\right.\) 的點。同樣地,B 圓盤的左側也必然有個與圓心相距 \(5\left.\mathrm{cm}\right.\)的點,這兩個點應該都存在著(根據我們的第一種坐標系詮釋:\(R\leq 5\))。怎麼會在接觸時,這兩個點就變成同一個點了呢?倘若這符合你的直覺,那就沒問題了。不過,應該也有人跟我一樣,覺得怪怪的。因此,讓我們來修改推理前提,或許應該要選擇第二種坐標系詮釋:\(R<5\)。

針對 \(R<5\) 的坐標系詮釋,倘若我們仍然認為兩圓盤圓心位於 \(x=0\) 與 \(x=10\) 兩坐標點上,那麼勢必使得 \(x=5\) 這個點不屬於這兩個圓盤的點,進而造成這兩圓盤之間總是有個要多小就有多小的距離。因此,這兩圓盤似乎也沒有接觸到,畢竟所謂的接觸,似乎是兩物體之間的距離為零吧?

就目前而言,不管是將「半徑為 \(5\left.\mathrm{cm}\right.\) 的圓盤」詮釋為 (1) \(R\leq 5\) 還是 (2) \(R<5\),似乎都不能為我們的直覺找到一個對應的精確數學定義、坐標系詮釋。因此,也許問題並不出在這兩個想法,而是出在於我們其他的假設。例如,這兩個互相接觸的圓盤圓心之間的距離,並不應該是 \(|x_A-x_B|=10\):

「物體距離為 d」的坐標系詮釋: $|x_A-x_B|=d$

但如果不是這種詮釋,還能是哪一種呢?總不該是 \(|x_A-x_B|>d\),也不該是 \(|x_A-x_B|<d\)。

我們還有一些策略,就是可以堅持「圓盤半徑為 \(5\left.\mathrm{cm}\right.\)」的坐標系詮釋為某一種,並去推敲應有的「物體距離為 d」的坐標系詮釋。例如,倘若我們堅持 \(R\leq5\) 的「半徑為 \(5\left.\mathrm{cm}\right.\)」的坐標系詮釋,那麼為了不讓兩圓盤共有一個 \(x=5\) 的點,我們勢必需要將 A/B 圓盤向左/右移動一個不為零的 \(\epsilon\) 距離,而這個 \(\epsilon\) 是不是一個數字呢?如果 \(\epsilon\) 是一個數字,那麼就得滿足所謂的阿基米德公理:

阿基米德公理: 給定任何正實數 $\epsilon$,不論它有多小,再給定任何正實數 $M$,不論它有多大,我們總是找得到一個自然數 $n$ 使得 $n\epsilon>M$。

因此,我們勢必能為 \(\epsilon\) 距離,找到一個自然數 \(n\) 使得相乘後能大於某個對應的正實數 \(M\)。但如果真的辦得到這種事,那就表示也應該找得到一個比 \(n\) 還要大的數字 \(n’\),使得兩物體之間的距離大於 \(M/n’\)。這似乎又違背了我們的「兩圓盤接觸的直覺定義」(Intuitive definition):

「兩圓盤接觸的直覺定義」(Intuitive definition):兩圓盤之間的距離必須為零。

另一方面,如果我們改為堅持 \(R<5\) 作為「半徑為 \(5\left.\mathrm{cm}\right.\)」的坐標系詮釋,那麼就必須讓 A/B 圓盤向右/左靠近一點,但那又會是多少呢?畢竟它們之間的距離只是一個點。換言之,\(x<5\) 與 \(x>5\) 之間的距離應該是多少呢?就我看來,「物體距離為 \(d\)」的坐標系詮釋必須是 \(|x_A-x_B|=d\),因此,我們或許要更進一步給出精確的「接觸定義」:

「兩圓盤接觸的準確定義」(Precise definition):兩物體互相接觸 $\Leftrightarrow$ 兩物體之間距離為零 $\Leftrightarrow$ 兩物體之間夾有一個”沒有寬度的”點。

倘若我們接受如此這般的接觸定義,那麼就能夠與 \(R<5\) 的「半徑為 5 的圓盤」坐標系詮釋相容。因此,目前我個人的結論是:

  1. 半徑為 $5\left.\mathrm{cm}\right.$ 的圓盤:$R<5$
  2. 距離為 $d$ 的 A、B 兩圓盤:$|x_A-x_B|=d$
  3. 兩個互相接觸的物體之間,必定夾有一個沒有寬度的坐標點。

而這樣的結論,似乎與日後對於「場」概念的發展有所對應,因為當我們將物體理解為場的延續時,物體就不再有明確的尺寸,而應該是一個不太明確但又有一定限制的範圍。此外,這樣的概念也進一步讓我們對於「因果」之間的距離有更明確的想法。我們都說量子力學將導致因果之間的距離可以非常大,而這違背了我們的直覺(局域性原理),這也是為什麼我們覺得不該有超距力的原因。然而,「因果」之間的距離又應該是如何的近呢?如果不能太遠,那麼又應該多麼近?我想,我們對於接觸的準確定義的思考,應該有助於我們形塑、刻畫因果之間的距離意義。

最後還是得聲明一下。畢竟畢業於物理系,所以我知道有非常多的當代概念都絕對不是我這篇文章所講的這樣模糊不清,像是局域性原理或因果等等的。不過,正如我文章開頭所說的,我這篇文章的目的,不在於給予當代的物理知識。甚至整個網誌都不是,因為我並非物理學家。這篇文章的目的是在於提供現在正在學習牛頓力學的同學們,一個以牛頓力學預設的質點概念出發的「接觸意義」的思考空間,擴充可能的物理認知。


關於〈質點概念所暗示的接觸定義〉,寫得還可以嗎?

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關於 Ethan

我是高英倫,79 年次,桃園人,現居住於台北士林。台大物理系、化工系學士,目前就讀於台大電子工程學研究所,未來希望能朝向關於固態物理、半導體物理的研究前進。自 2008 年開始接高中物理家教工作,現已接過至少 65 位家教學生。教過國高中數學、物理、化學與大學的微積分與普通物理學。目前以教大學普通物理為主。關於物理教學研究,我興趣是物理史及其哲學,以及它們在教育上的應用。
本篇發表於 牛頓定律, 物理哲學, 物理教育, 高二物理。將永久鏈結加入書籤。

質點概念所暗示的接觸定義 有 1 則回應

  1. 訪客 說道:

    其實我看不太懂 但是我可以提一些自己的想法供你參考
    (當然你也可能覺得我牛頭不對馬嘴 因為這是很久以前曾想過的類似問題 若要在查資料考證需要一些時間 而且又要重新"說服自己")
    courant的an introduction to calculus and analysis vol ii (ii是多變數微積分) 第一章有提到很多相關的概念 我認為會給你不少想法 如果你真的要完全搞懂
    .
    就我所知牛頓力學很大是建立在連續體的假設
    .
    我只記得當時自己想了很久 後來給的自己的一些結論
    單變數函數(線) 在邊界處連續 邊界上必須有定義
    可是多變數函數(面或者體或更高維度) 在邊界處連續 邊界上"不須"有定義 有定義或沒定義都可以
    在多變數函數的情形 "條件會放寬" 很有趣
    .
    再來
    接觸兩個字會讓我想到
    1.碰撞 就我所知真正的碰撞不需要物體接觸 場的碰撞才是碰撞(高二翰林物理 我目前25歲 不知道是哪年的課綱)
    2.接觸會讓我想到"靠近" 也就是和極限.連續性有關的概念
    3.其實 好像有個東西叫做非標準分析 好像是定義無窮小的東西
    我後來的結論是 即使是有高等微積分的研究 微積分還是有很多不夠嚴謹的地方
    例如可積性的定義也很寬鬆…
    .
    最後
    其實我覺得這個問題應該翻一下couront那本 就可以說服你或者給你insight了
    前五十頁應該就提了不少跟你談的有關的東西

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