系統與力圖

最初我們處理的是長、寬、高皆為零的「質點」的運動,質點的受力十分好掌握,但也因此而遠離日常生活。生活上能碰到的東西,像是桌椅、電風扇、機車等都是結構非常複雜的物體,又例如我們的肌肉是如何施力的?這些問題的主角都不是「質點」,所以學習分析「多質點系統」是必要的。

什麼是系統?

如果你是國高中生,那麼這可能是你第一次接觸這麼抽象的名詞,這比力量還要抽象一點,因為它似乎很少在生活中出現。「系統」泛指你的研究對象,例如喇叭是怎麼發出聲音呢?我們走路時的能量怎麼來的?是什麼力量使得腳踏車轉彎,而又為什麼壓車時壓太低會出車禍?這些問題你關注、研究的對象分別是「喇叭」、「某個人」、「腳踏車」,所以這就是我們的系統。但如果你要的研究更加細緻,例如電風扇的扇葉是如何受力的?背多重的書,背帶才會斷掉?那麼此時的系統就有點不同了。

我們最熟悉的是可以「單獨」拿起、移動的物體,電風扇可以整台拿起,研究它的受力似乎雖然有點複雜,但比起「它的某片扇葉」卻讓人覺得容易多了。因為我們幾乎沒有碰過轉動中的扇葉,所以比起電風扇整台,我們更難想像扇葉的受力情況。更別說吊橋的最大載重的分析了。所以,系統不單單可以是常見的「個體」(整台電風扇、腳踏車、吊橋本身、背包本身、..),也可以是各個物體的「一部分」,例如腳踏車的後輪、二頭肌、雲梯車的雲梯、…。

因此,「系統泛指你的研究對象」的意義在研究個體時很顯而易見,但在研究各物體的某部分時,就會讓人覺得不是那麼熟悉,而這就是我們要練習、值得我們學習的部份。

系統的受力圖—力圖

(圖一)

(圖一)

 

系統是讓我們「只」關注研究對象的抽象概念,避免混淆。看看圖一中的桌上木塊,目前已知桌上木塊靜止,如果要你分析桌上木塊的受力情形,那麼你應該要將圖一中,除了桌上木塊之外的東西都移除。就這樣獨自地審視桌上的木塊,並試著畫出它的受力圖。

 

(圖二)以木塊本身為系統。

(圖二)以木塊本身為系統。

當然,要初學者畫出那木塊的力圖是很困難的,所以重點其實並不在畫出力圖,而在於「獨自地」審視桌上的木塊。很多同學都忽略了這點,以至於混淆了「系統」與「外界」(或說環境,就是系統之外的個體)。所以當你需要分析它時,就應該只畫出圖二中的木塊。這個看似簡單的步驟,其實可以為我們省下不少因「粗心」而造成的麻煩。另外,圖三中的一切都屬於「外界」,也就是我們不應該畫出來的部份。

(圖三)外界,亦即環境,都是不該畫出來的部份。

(圖三)外界,亦即環境,都是不該畫出來的部份。

「系統」概念的價值就在於對研究對象的「專注」,當然這一切都只是訓練的一環。受過良好訓練的人也早已不需這麼麻煩,它只需費一次的功夫,在圖一中畫出所有受力即可,如圖四。

(圖四),木塊的力圖。

(圖四),木塊的力圖。

如果你沒有將木塊獨立出來,你可能會懷疑那個作用於木塊上的靜摩擦力究竟是往左還是往右,所以畫力圖的好處就是不被其他系統(外界的一部分)混淆。而我們之所以被混淆,就是因為我們會想像自己就是木塊周圍的繩子、桌子等物體,想像「如果我是它,那麼我會如何對它施力」。可是這樣的想像難免有想錯的時候,例如你可能會覺得「如果我是桌子,那我應該會被木塊往右邊拉」。一旦有了「只畫出系統的力圖」,我們就比較可能不會混淆「桌子受到的力量」與「木塊受到的力量」。

這種只專注於系統的分析能力非常重要,以至於力圖的原文—Free Body Diagram—的意義為「隔離體圖」。「Free」不是自由的意思,而是隔離於、免除於的意思;力圖也就是隔離(其他物)體(的)圖。

如何畫好「隔離體圖」(力圖)?

以下我稍微整理出畫出隔離體圖(力圖)的基本要領:

  1. 隔離體圖(力圖)主要有兩個概念組成,第一個是欲分析的系統模樣,儘管它可能有點奇怪(鐵鍊中的一環、腳踏車的後輪但不包含輪軸、椅子的某支腳、..),但就是為它選好適當的邊界,之後畫出來。第二個就是系統受到來自外界的力量,我們應該將所有與系統交互作用的外界都用「力量的箭頭」取而代之。
  2. 不應該畫出外界受到的力量,例如我要畫出圖一中木塊受到的靜摩擦力,那麼就應該是向左的力,而非向右的「桌子受到的靜摩擦力」。
  3. 如果要更仔細畫力圖,那麼各力量的相對大小當然以箭頭長度來呈現。不過比起這個,更重要的是力量的作用點。例如圖四的正向力作用點就很可能不是在正中間,因為必須考慮木塊的力矩作用情形[1]

練習(解答於第二頁)

  1. 被放在桌上靜止不動的手機,畫出手機的力圖。
  2. 呈 (1),畫出這桌子的力圖。
  3. 坐在盪鞦韆上且兩手抓著鐵鍊的小孩,畫出小孩的力圖。
  4. 畫出 (3) 中,被小孩坐著的盪鞦韆木板的力圖(不含鐵鍊)。
  5. 畫出 (3) 中,鐵鍊的力圖(暫不考慮重力)。
  6. 畫出 (3) 中,鐵鍊與木板的力圖。
  7. 畫出 (3) 中,將小孩、鐵鍊與木板視為一系統,畫出此系統的力圖。
  8. 有顆芒果掉下來了,假設不計空氣阻力,請畫芒果的力圖。
  9. 有片葉子被風吹落了,假設葉子落下時正吹著東風,葉子往左上飛去,試畫葉子的力圖。
  10. 有隻小鳥在空中等速向左飛行,考慮空氣阻力,請畫出小鳥的力圖。
  11. 想像你正試著推動一台洗衣機,但始終推不動,請畫出洗衣機的力圖。
  12. 呈 (10),假設你推動了這台洗衣機,並且向左作等速運動,忽略空氣阻力。請畫出洗衣機的力圖。
  13. 呈 (11),考慮空氣阻力,並且洗衣機也是向左作等速運動,請畫出洗衣機的力圖。
  14. 想像你是打 MLB 的王牌投手,當你彎腰投球時,球正在往仰角10度的東方加速。請畫出這顆球的力圖。(提示:將手對球的力量等效為一個作用力,而不以真實的受力情形計算,如同將物體重力等效為作用於重心的總重力)
  15. Steve Nash 的三分球,這次的拋物線非常高。請畫出球在最高點時的力圖。
  16. 呈 (15),結果這顆球打板才進,請畫出球打板時的力圖。
  17. 當你靜止在磅秤上時,你讀到你的重量為 50kgw 請畫出此時你的力圖。
  18. 呈 (17),當你往下蹲時,在你下蹲的前半段過程(向下加速),你發現讀數減少了,只有 40kgw,請畫出此時的你的力圖。(想想為什麼讀數減少了?)
  19. 呈 (18),當你往下蹲時,在你下蹲的後半段過程(向上加速),你發現讀數不減反增!變成了 60kgw,請畫出此時的你的力圖(想想為什麼讀數不減反增?)
  20. 有個冰塊浮在你點的可樂上,請畫出冰塊的力圖。
  21. 呈 (20),請畫出可樂(那些可以喝的流體)的力圖。(提示:考慮作用於冰塊的浮力的反作用力,以及杯子作用於可樂的正向力)
  22. 你正在跟朋友玩翹翹板,因為你朋友比較重,所以坐得離支點較遠。假設現在兩人靜止不動,請畫出你與朋友的力圖,再接著畫翹翹板的力圖。
  23. 畫出晒衣服時,衣架的力圖。假設現在沒有風,衣服靜止不動。
  24. 想像你走路時不小心被石頭絆倒了,在那絆倒後但又還沒著地的瞬間,畫出你的力圖。(腳還稍微碰著石頭)
  25. 畫出人走樓梯時的力圖,假設兩腳目前踩在不同的階梯上。
  26. 畫出人走路時的力圖,假設兩腳目前皆踩在地面上。
  27. 畫出人走路時的力圖,假設有一腳離地。

[1] 關於重力與正向力為何只畫一個箭頭,而非多個箭頭,以及決定正向力作用點的道理又是什麼,可參考《「相當於」的等效意義

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