dy/dx 是一種「比值」嗎?

有些老師可能覺得我在找碴,甚至有的同學也會這麼想,但其實不是的。此問題也涉及我在〈向心加速度與瞬時速度垂直嗎?〉、〈到底什麼是瞬時速度?〉的說明。當初是無意間在 StackExchange 看到的,沒想到真的有人想到了這個問題,並且底下有相當精緻的答案。雖然維基百科上已有說明過,但我覺得多數人仍不清楚,因此仍非常希望高中老師能夠理解這一切,並且運用到課堂中。如果有同學能理解接下來的內容,那當然是再好不過的了!

在 Thomas 的微積分課本(第11版)提到導函數並不是比值。不過,我們總是可以將它解釋為 \(dy\) 除以 \(dx\),那又是為什麼不能將它視為比值呢?

若以「物理」的角度來看待這問題,那就可以改寫為

(1)為什麼不能將 $v = dx/dt$ 視為「瞬間位移」與「瞬時時距」的比值呢?
(2)為什麼不能將 $a = dv/dt$ 視為「瞬間瞬時速度變化」與「瞬時時距」的比值呢?

讀者可以重新想想,假若 $x(t)=t^2$,那麼該如何計算 $v(0)$ 呢?


在此將作者 Arturo Magidin 教授於原文的回答,稍微整理並翻譯如下:

歷史上,當萊布尼茲在構思 $dy/dx$ 記號的時候,那時確實是指一種比例、商數:這是「由於 $x$ 的改變所引起的 $y$ 的微量變化」除以「$x$ 的微量變化」。不過,在我們平常的實數範疇裡,微積分的無窮小量($dy$、$dx$、…)寫法造成了不少問題。

首先,無窮小量(infinitesimal,例如 $dx$)不能作為平常的實數而存在!因為實數必須滿足一個非常重要的性質——阿基米德公理。

  • 給定任何正實數 $\epsilon$,不論它有多小,再給定任何正實數 $M$,不論它有多大,我們總是找得到一個自然數 \(n\) 使得 \(n\epsilon>M\)。

然而,所謂的無窮小量應該是小到不論你找什麼數($n$)與它($\epsilon$)相乘,總是不可能大過於 $1$($M$),這就與阿基米德公理矛盾了。

另一個問題是,萊布尼茲當時對 $y=f(x)$ 於 $x=a$ 的切線的定義是「取點$\left(a, f(a)\right)$,然後對 $a$ 加上一微分量,$a+dx$,再取點$\left(a+dx, f(a+dx)\right)$,最後再畫通過這兩點的直線」。然而,如果它們是曲線上的兩個不同的點,那麼這就不是所謂的切線了。並且如果它們只是一個點,那麼你也就不能定義所謂的線,因為你只有一個點。以上就是與微分量相關的兩個問題。

所以,根本上,微積分在接下來的兩百年裡就從基礎開始重新建立,以避免這些問題,而你現在所學的就是微積分的「進化版本」(例如,這就是極限的由來)。由於如此這般的改寫與概念重建,導函數(the derivative)已不再是一種比例、商數(quotient),現在它是一種極限(limit)

$$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\tag{1}$$

並且,因為我們不能將這個「商數的極限」表示為「極限的商數」(分子與分母皆趨近於零),所以這個導數並不是一個商數[1]。然而,萊布尼茲記號所暗示的「極限的商數」可說是非常有用;儘管導函數本身並不是真的商數,在很多時候它們都運算得彷彿它們就是商數。這也就是為什麼我們的連鎖律

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\tag{2}$$

看起來是如此的直觀、自然而然,因為我們把導函數當作是一種「分數」了。而我們的反函數定理,它告訴你

$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}\tag{3}$$

如果你將導函數視為一種「分數」、「商數」的話,那麼這種「錯覺」就又成功地再一次使你覺得以上這一切都是非常的自然而然。所以,因為這個記號——萊布尼茲記號——是如此地平易近人,所以我們繼續使用這個記號,儘管這個記號實際上已不再代表著真正的商數,它代表的只是一個極限。其實,萊布尼茲記號比 prime 記號($dy/dx = y’$)或牛頓記號好用到讓英國的數學與科學領域落後了歐洲幾個世紀,由於牛頓與萊布尼茲陣容於「誰發明了微積分」以及「誰從誰那裡偷了微積分」的鬥爭,所以英國的科學基礎建設決定無視歐洲的萊布尼茲記號,而堅持使用牛頓的記號,然後就這樣落後了許多年。

所以,雖然我們將 $dy/dx$ 寫得好像它是一種分數,並且許多運算好像就是把它當作分數來運算的,但它真的不是分數。

不過…我們有個方法能夠擺脫微分量造成的邏輯困難;這被稱作「非標準分析」(nonstandard analysis)。詳細解釋它是一件非常不容易的事情,不過你可以將它視為是建立了兩種不同階級的實數系統:一個是你熟悉的實數系統,滿足剛才提過的阿基米德公理以及其他等等的重要性質,然後你加了另外一個系統,包含微分量以及各種其他事物的不同實數系統。

如果你真的這麼做了,那麼如果你夠小心的話,那麼你就可以用萊布尼茲的方式,以微分量以及實際的商數概念,定義導函數;如果你這麼做了,那麼所有那些看起來就像是商數的 dy/dx 並用到這種商數的微積分運算規則,就此被你證成了,因為,在這種設定下,它就「是」個分數。不過,我們仍然要非常得小心,因為你必須將微分量與一般的實數作個區隔,並且不要混淆了它們,不然你就會遇到一些非常嚴重的問題。


以瞬時速度定義為例

以上是 Arturo Magidin 教授的原文翻譯,因本人不是翻譯好手,所以還請多多包涵。話說回來,以物理的角度來詮釋這問題的話,我們就會說,瞬時速度不是位移與時距的比值,而是此比值於時距趨近於零時所趨近的值,這個值我們稱作極限。

如剛才提到的 $x(t)=t^2$,我們如果要算 $0$ 秒時的瞬時速度,那根據其數學定義:

$$v(0)=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{x(0+\Delta t)-x(0)}{\Delta t}\tag{4}$$

如果我們暫時將它視為「極限的商數」,而非「商數的極限」,那麼就會變成這樣:

$$v(0)\sim \cfrac{\lim\limits_{\Delta t\to 0}\Delta x}{\lim\limits_{\Delta t\to 0}\Delta t}\tag{5}$$

這樣的問題是,分母為零,整個數值就是無意義的。因此,我們不應該將「商數的極限」視為「極限的商數」。而正確的推論應該是:

$$v(0)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\left(\Delta t\right)^2-0}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\Delta t\tag{6}$$

接著,我們要問的是,當 $\Delta t$ 接近零時,$\Delta t$ 會接近誰?而這個答案就是此時距下「位移與時距比值」的極限,這答案當然就是零本身了!所以,接下來要寫的這個等號「=」,不是指 $\Delta t$ 等於零,而是指當 $\Delta t$ 接近零時,$\Delta t$ 也會跟著接近零(它就是它自己)。

$$v(0)=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\Delta t=0\tag{7}$$

如果你說,上式右邊的等號是源自 $\Delta t$ 等於零,那麼就沒有所謂的變化,也就不會有運動、速度了。

微分量(Differential)

模仿 Stewart 微積分課本示意圖的示意圖:第 14 章偏微分。

剛才有提到所謂的無窮小量(infinitesimal),它並不是所謂的數字,或許目前可暫時將無窮小量理解為 $dy/dx$ 或 $\int f(x)dx$ 之中的 $dx$ 與 $dy$,雖然它也不是如此(詳見無窮小量)。現在我們要提的是在物理中經常出現的微分量(differential),在這意義上,$dx$ 與 $dy$ 等就確實是一個數字了。如果你有讀到些大學物理,應該會在許多場合看到類似底下的諸多寫法單獨出現在某一行,而沒有搭配任何的積分符號。

$$Fdx, \delta Q, dQ, \delta W, -PdV, dU,\cdots$$

事實上 $\delta$ 與 $d$ 是有點不同,不過我先不在此細談,這需要用到熱力學中的狀態函數(state function)才比較好說明。話說回來,在積分以外的場合,如果看到了上述類似用法,那麼那又是什麼意思呢?其實這概念非常簡單。首先還是要強調一下,這概念絕對不同於作為導數符號中的 $dy$ 與 $dx$。

$$\frac{dy}{dx}\equiv\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\tag{8}\label{8}$$

在 $(\ref{8})$ 中的 $dy$ 與 $dx$ 不叫做微分量(differential),它們沒有任何意義,必須將整個 $dy/dx$ 視為一個符號才能夠有意義,而這符號代表著 $(\ref{8})$ 右側的極限。所謂的微分量是,當我們想藉由 $x=a$ 作一條切線(如上圖紫線)來線性近似 $x=a+\Delta x$ 的函數值時(如上圖淺藍線),近似得出的函數變化量就寫為 $dy$。也就是說,

$$f(a+\Delta x)\approx f(x)+f'(a)dx\tag{9}\label{9}$$

此外,當 $\Delta x=dx$ 越來越小,那麼 $(\ref{9})$ 的近似就越來越好,因為:

$$\vert\Delta y- dy\vert\to 0\quad\text{as}\quad \Delta x\to 0\tag{10}$$

當 $\Delta x$ 取得越小,$dy$ 就越接近 $\Delta y$,也就近似得越好。如你所見,在微分量的意義上,我們也將 $dx$ 簡單地定義為 $\Delta x$,而這個 $dx=\Delta x$ 只被單純地理解為 $\Delta x$。


[1] 譯者註:這就是微積分課本會寫到的極限法則(Limit Laws),可參閱 James Stewart 著的 Calculus Early Transcendentals 第99頁。假設下列兩極限存在:

$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)\quad\text{and}\quad\lim_{x\rightarrow a}g(x)$$

那麼,

$$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)}\quad\text{if}\quad\lim_{x\rightarrow a}f(x)\neq 0$$


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關於 Ethan

我是高英倫,79 年次,桃園人,現居住於台北士林。台大物理系、化工系學士,目前就讀於台大電子工程學研究所,未來希望能朝向關於固態物理、半導體物理的研究前進。自 2008 年開始接高中物理家教工作,現已接過至少 65 位家教學生。教過國高中數學、物理、化學與大學的微積分與普通物理學。目前以教大學普通物理為主。關於物理教學研究,我興趣是物理史及其哲學,以及它們在教育上的應用。
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