dy/dx 是一種「比值」嗎?

有些老師可能覺得我在找碴,甚至有的同學也會這麼想,但其實不是的。此問題也涉及我在《向心加速度與瞬時速度垂直嗎?》的說明。當初是無意間在 StackExchange 看到的,沒想到真的有人想到了這個問題,並且底下有相當精緻的答案。雖然維基百科上已有說明過,但我覺得多數人仍不清楚,因此仍非常希望高中老師能夠理解這一切,並且運用到課堂中。如果有同學能理解接下來的內容,那當然是再好不過的了!

在 Thomas 的微積分課本(第11版)提到導函數並不是比值。不過,我們總是可以將它解釋為 dy 除以 dx,那又是為什麼不能將它視為比值呢?

若以「物理」的角度來看待這問題,那就可以改寫為

(1)為什麼不能將 v = dx/dt 視為「瞬間位移」與「瞬時時距」的比值呢?
(2)為什麼不能將 a = dv/dt 視為「瞬間瞬時速度變化」與「瞬時時距」的比值呢?

讀者可以重新想想,假若 x(t) = t2,那麼該如何計算 v(0) 呢?


在此將作者 Arturo Magidin 教授於原文的回答,稍微整理並翻譯如下:

歷史上,當萊布尼茲在構思 dy/dx 記號的時候,那時確實是指一種比例、商數:這是「由於 x 的改變所引起的 y 的微量變化」除以「x 的微量變化」。不過,在我們平常的實數範疇裡,微積分的微分量(dy、dx、…)寫法造成了不少問題。

首先,微分量不能作為平常的實數而存在!因為實數必須滿足一個非常重要的性質,阿基米德公理。

  • 給定任何正實數 ϵ,不論它有多小,再給定任何正實數 M,不論它有多大,我們總是找得到一個自然數 n 使得 nϵ M。

然而,所謂的微分量(infinitesimal,例如 dx)應該是小到不論你找什麼數(n)與它(ϵ)相乘,總是不可能大過於 1(M),這就與阿基米德公理矛盾了。

另一個問題是,萊布尼茲當時對 y=f(x) 於 x=a 的切線的定義是「取點(a, f(a)),然後對 a 加上一微分量,a+dx,再取點(a+dx, f(a+dx)),最後再畫通過這兩點的直線」。然而,如果它們是曲線上的兩個不同的點,那麼這就不是所謂的切線了。並且如果它們只是一個點,那麼你也就不能定義所謂的線,因為你只有一個點。以上就是與微分量相關的兩個問題。

所以,根本上,微積分在接下來的兩百年裡就從基礎開始重新建立,以避免這些問題,而你現在所學的就是微積分的「進化版本」(例如,這就是極限的由來)。由於如此這般的改寫與概念重建,導函數(the derivative)已不再是一種比例、商數(quotient),現在它是一種極限(limit)

並且,因為我們不能將這個「商數的極限」表示為「極限的商數」(分子與分母皆趨近於零),所以這個導數並不是一個商數[1]。然而,萊布尼茲記號所暗示的「極限的商數」可說是非常有用;儘管導函數本身並不是真的商數,在很多時候它們都運算得彷彿它們就是商數。這也就是為什麼我們的連鎖律

看起來是如此的直觀、自然而然,因為我們把導函數當作是一種「分數」了。而我們的反函數定理,它告訴你

如果你將導函數視為一種「分數」、「商數」的話,那麼這種「錯覺」就又成功地再一次使你覺得以上這一切都是非常的自然而然。所以,因為這個記號—萊布尼茲記號—是如此地平易近人,所以我們繼續使用這個記號,儘管這個記號實際上已不再代表著真正的商數,它代表的只是一個極限。其實,萊布尼茲記號比 prime 記號(dy/dx = y’)或牛頓記號好用到讓英國的數學與科學領域落後了歐洲幾個世紀,由於牛頓與萊布尼茲陣容於「誰發明了微積分」以及「誰從誰那裡偷了微積分」的鬥爭,所以英國的科學基礎建設決定無視歐洲的萊布尼茲記號,而堅持使用牛頓的記號,然後就這樣落後了許多年。

(微分量也有類似的爭議:最初, dy 與 dx 代表了 dy/dx 裡頭的意思,但如此一來將造成許多邏輯上的困難,所以它們不再指同一件事情,儘管它們運算得彷彿是相同的事物。)

所以,雖然我們將 dy/dx 寫得好像它是一種分數,並且許多運算好像就是把它當作分數來運算的,但它真的不是分數。

不過…我們有個方法能夠擺脫微分量造成的邏輯困難;這被稱作「非標準分析」(nonstandard analysis)。詳細解釋它是一件非常不容易的事情,不過你可以將它視為是建立了兩種不同階級的實數系統:一個是你熟悉的實數系統,滿足剛才提過的阿基米德公理以及其他等等的重要性質,然後你加了另外一個系統,包含微分量以及各種其他事物的不同實數系統。

如果你真的這麼做了,那麼如果你夠小心的話,那麼你就可以用萊布尼茲的方式,以微分量以及實際的商數概念,定義導函數;如果你這麼做了,那麼所有那些看起來就像是商數的 dy/dx 並用到這種商數的微積分運算規則,就此被你證成了,因為,在這種設定下,它就「是」個分數。不過,我們仍然要非常得小心,因為你必須將微分量與一般的實數作個區隔,並且不要混淆了它們,不然你就會遇到一些非常嚴重的問題。


以上是 Arturo Magidin 教授的原文翻譯,因本人不是翻譯好手,所以還請多多包涵。話說回來,以物理的角度來詮釋這問題的話,我們就會說,瞬時速度不是位移與時距的比值,而是此比值於時距趨近於零時所趨近的值,這個值我們稱作極限。

如剛才提到的 x(t) = t2,我們如果要算 0 秒時的瞬時速度,那根據其數學定義:

如果我們暫時將它視為「極限的商數」,而非「商數的極限」,那麼就會變成這樣:

這樣的問題是,分母為零,整個數值就是無意義的。因此,我們不應該將「商數的極限」視為「極限的商數」。而正確的推論應該是:

接著,我們要問的是,當 ∆t 接近零時,∆t 會接近誰?而這個答案就是此時距下「位移與時距比值」的極限,這答案當然就是零本身了!所以,接下來要寫的這個等號「=」,不是指 ∆t 等於零,而是指當 ∆t 接近零時,∆t 也會跟著接近零(它就是它自己)。

如果你說,上式右邊的等號是源自 ∆t 等於零,那麼就沒有所謂的變化,也就不會有運動、速度了。


[1] 譯者註:這就是微積分課本會寫到的極限法則(Limit Laws),可參閱 James Stewart 著的 Calculus Early Transcendentals 第99頁。假設下列兩極限存在:

那麼,


關於《dy/dx 是一種「比值」嗎?》,寫得還可以嗎?

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