彭孟堯〈基礎邏輯〉

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由於之前苦於找不到合適的邏輯入門書,台灣不像美國,能夠在 Amazon 或 Goodreads 找到許多有深度的書的讀後感,甚至是非常有深度的書評,藉以判斷該書適不適合自己,所以繞了不少遠路。如今,就某種程度上來說,總算是讓我較完整地學完命題邏輯與述詞邏輯了。所以在這裡分享讀書心得,希望能給想學邏輯的人一點參考與指引!

最近這兩個月,雖說是在當兵,但也經常利用零碎時間讀了不少⟪基礎邏輯⟫。在讀這本之前,我已看過傅皓政教授的邏輯課程。搭配傅教授寫的⟪思考的秘密⟫,看到自然演繹法系統就沒再讀下去了,印象中當時是因為解不開推論規則相關的問題而放棄學習。將近一年後,才買這本基礎邏輯來讀。彭教授在作者序裡寫道:

「本書介紹的是形式邏輯,一門研究論證結構的形式科學。形式邏輯學有很多,本書介紹的是各種形式邏輯學的基礎:初階符號邏輯,亦即基礎邏輯。基礎邏輯包括命題邏輯及述詞邏輯兩大部分,分別在本書第一章到第八章,以及第九章到第十二章講解。各章都有一些習題,並於本書最後附上習題解答。」

首先談談命題邏輯的部份,我覺得,對從沒接觸過邏輯的人而言,第一章談的「邏輯的基本觀念」可能不太好懂。由於尚未動手分析何謂內在矛盾,也沒操作過歸謬原理,所以1-4節可能會讀的不太順,因而綜合練習也會寫得卡卡的。不過,我覺得這節只要大概知道一些專技名詞就行,像是「論證」、「命題」、「前提」、「結論」、「推論宣稱」、「論證鍊」、「有效性」、「真確性」、「真假值」、「邏輯一致性」。讀後面幾章時總是可以反覆回來重新思考第一章的觀念與習題,個人覺得反覆重新思考的學習效果還不錯。整體來說,第一部分的命題邏輯內容很豐富,讀得很順暢。第七章的習題有75題,做完會覺得功力上升許多。述詞邏輯的有效論證證明也十分需要命題邏輯的關係,所以強烈建議把習題全部做完。

相較於命題邏輯,我覺得述詞邏輯寫的比較「趕」,偶爾會有放棄讀下去的念頭,雖然最後還是硬著頭皮自己解決不少困惑(當兵嘛,沒辦法找人討論與查資料)。以下大致是我曾遇到的問題,供正在閱讀的人參考:

問題一、什麼是Px?

  • 金星是行星  ⇒  Pa
  • 水星是行星  ⇒  Pb
  • 火星是行星  ⇒  Pc
  • 土星是行星  ⇒  Pd

上面例子裡幾個命題的共同點可以符號化為:Px….。….Px這個表達式就是一個以x為引元的命題函數,它沒有真假值可言,但是用a、b、…等嵌入x的位置後,就得到具有真假值的單稱命題。

當時我很想試著去理解該如何「翻譯」Px,難道就是「x是行星」嗎?而當我問「什麼是x」的時候,我又因馬上想到「x是行星」而百思不得其解。畢竟,我應該可以決定我的論域是什麼吧,為何述詞的意義會直接影響到論域呢?後來才想到,原來我被「x是行星」誤導的原因是,我將沒有真假值的「Px,亦即x是行星」設為真。假若我將論域鎖定為U={我、我弟、我媽},那麼「Px,亦即x是行星」就必然為假了。

問題二、為什麼通稱命題的邏輯表達是這樣的?

這問題讓我想最久,例如:

  • 所有F都是G,(x)( Fx ⊃ Gx ),為什麼不能寫成「(x)( Fx ᴧ Gx )」呢?
  • 有些F是G,(∃x)( Fx ᴧ Gx ),為什麼不能寫成「(∃x)( Fx ⊃ Gx )」呢?

除此之外,我一直想著教授寫的這段話:

當然,述詞邏輯的符號系統能夠處理的包含有量限詞的命題,遠超過這四種基本類型,已經不是自然語言所能夠掌握的了。上一節提到的多重量限命題就是很好的例子。

最初只是一直覺得這感覺很炫,而沒想到這有助於理解我的「問題二」。最後,我土法煉鋼地舉例,並用真值表探索問題二,發現一個結論:因為論域並不必然是具有F性質的個體,所以「(x)( Fx ⊃ Gx )」與「(x)( Fx ᴧ Gx )」的真值表並不同,「(∃x)( Fx ᴧ Gx )」與「(∃x)( Fx ⊃ Gx )」也是如此。

例如:所有人都很白目,F:「____是人」,G:「____是很白目的」。而我討論的對象其實不是所有人類,而是昨晚跟我聊天的那些人,所以論域U = {某a,某b}。由於我的論域確實具有F屬性,所以下列兩種表達式的真值表恰好相等。

  • (x)( Fx ⊃ Gx ) ≣ ( Fa ⊃ Ga ) ᴧ ( Fb ⊃ Gb )
  • (x)( Fx ᴧ Gx ) ≣ ( Fa ᴧ Ga ) ᴧ ( Fb ᴧ Gb )

然而,如果我討論的對象(論域)有點奇怪,例如U={某a,我的魔術方塊b}。那麼,直覺來看,當我說「所有人都很白目,而我指的是在場的一切個體(只有某a與我的魔術方塊b)」時,你不會只因為我的魔術方塊b而說「並不是所有人都很白目」。這點可因「Fb為假」造成的( Fb ⊃ Gb )的真值而解決。但如果我們使用「(x)( Fx ᴧ Gx )」表達「所有人都很白目」,那麼由於Fb是假的,就算「某a確實是很白目的」,也會造成「所有人都很白目」就是假的,這顯然違背我們的日常用語。同樣的道理可解釋「(∃x)( Fx ᴧ Gx )」與「(∃x)( Fx ⊃ Gx )」的差異。那麼「(x)( Fx ᴧ Gx )」是什麼意思呢?顯然它不該是「所有人都很白目」的意思了,就這點來看,我覺得它確實也表達了我們日常用語所不會表達的某個意義(某種說不出來的命題?)。

上述兩問題是比較主要的問題,我覺得問題二的解決有助於學習第十二章的關係述詞邏輯。第十二章的自反性例子也有點少,關於本書講的自反性與完全自反可參考這篇文章,至今我仍不太懂這兩者的差異,哪天有空想通了再補上來。

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