本質半導體的載子濃度推導

在常見的 Neaman 固態電子學教科書中,電子濃度($n\equiv N/V$)的推導是藉由自由電子氣體模型的能階密度所類比得到的。我希望能在這篇文章,由半古典電子動力學模型、能帶理論、倒空間、費米面等觀念,大致完整走過一次物理推導。以求在「不使用類比」的前提下,由物理的方法得到所謂的電子載子濃度:

$$n=\int_{\varepsilon_c}^{\infty}g_c(\varepsilon)f(\varepsilon)d\varepsilon$$

其中,$g_c(\varepsilon)$ 為在能階能量為 $\varepsilon$ 時,能階數目隨著能量 $\varepsilon$ 改變的變化速率。根據採用的普朗克常數,有兩種不同寫法:

$$g_c(\varepsilon)=\frac{4\pi(2m_c)^{3/2}}{h^3}\sqrt{\varepsilon-\varepsilon_c}=\frac{m_c^{3/2}}{\pi^2\hbar^3}\sqrt{2(\varepsilon-\varepsilon_c)}$$

所謂的自由電子模型,是指在完全忽略電子間交互作用,並且讓這些電子在完全沒有位能的情況下,所推得的波函數組態。這一直讓我很困擾,畢竟實際上半導體中的傳導電子並不是處在一個完全沒有位能的環境中。這些傳導電子——或者說價電子——其實是位於具有著週期性的位能環境中,從而使得布拉赫理論(Bloch theorem)成立。

$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(\mathbf{r})\right]\psi=\varepsilon\psi$$

$$U(\mathbf{r})=U(\mathbf{r}+\mathbf{R})\quad\to\quad\psi(\mathbf{r}+\mathbf{R})=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}}\psi(\mathbf{r})$$

其中,$\mathbf{R}$ 為布拉菲晶格(Bravais lattice)中的任意晶格向量 $\mathbf{R}\equiv n_1\mathbf{a}_1+n_2\mathbf{a}_2+n_3\mathbf{a}_3\;,\;n_i\in\mathbb{Z}$。並且 $\mathbf{k}$ 為倒晶格(reciprocal lattice)中的任意向量:$\mathbf{k}=x_1\mathbf{b}_1+x_2\mathbf{b}_2+x_3\mathbf{b}_3\;,\;x_i\in\mathbb{C}$。而在搭配玻恩—卡曼邊界條件(Born-Von Karman boundary condition)後,我們可得到波向量 $\mathbf{k}$ 中的 $x_i$ 為 $x_i=m_i/N_i$ 的實數且 $m_i$ 為整數的解($N_i$ 為布拉菲晶格在 $\mathbf{a}_i$ 方向上的基本晶胞(primitive cell)數目,$N_i\equiv L/a_i$)。

這是我第一篇使用固態物理以試圖解釋常見半導體物理公式的文章。除了想寫給同樣有興趣了解的讀者以外,也是想試著用自己的話、熟悉的中文語言,重新解釋清楚究竟我學了什麼。由於我的固態物理是自學的,所以可能有些錯誤,還請多多包涵。

我不知道有沒有人跟我一樣,對於工程的東西,就是比較難直接吞下去,總是希望可以由物理學、第一原理盡可能地推下去。相信你應該會覺得這根本瘋了,但我也不知道為什麼,我自己大概只有這樣才能把那些工程學科學得好。這也是為什麼我的固態電子學總是學得很吃力,因為很難(在感情上?)接受那些觀念、推論。對我而言,那些類比的說服力並不足夠強,我希望能看到更多的物理上的詳細推導,我才能夠在心中有所謂的物理直覺、圖像等。這篇文章,我想談談應該算是第一個重要的半導體物理公式。這篇文章用到很多我沒有細講的概念,一方面是自己也不清楚背後的深厚理論,二方面是即便清楚,也沒有足夠時間寫文章交待清楚。但如果你想知道更多某部分的物理,是很歡迎你留言跟我說的。未來我也會找時間寫寫我覺得很基本且重要的固態物理觀念。

繼續閱讀

發表於 半導體物理, 大學物理 | 已標籤 , , , , | 發表迴響

更嚴謹的氣體動力論推導

物理學的發展,原則上就是盡可能地化繁為簡。能夠用一句話說清楚的,就不要用兩句話來說。如果可能,我們希望這世界的運作機制能夠僅由一條簡單的定律來解釋。常見的溫度與熱,是不是可以用我們更熟悉的日常現象來解釋呢?在我們學完溫度以及基本的熱現象後,我們往往緊接著學習所謂的氣體動力論(Kinetic theory of gas),之所以如此,是因為這能讓我們進一步了解常見的熱現象究竟是怎麼來的

氣體動力論的主要內容是,氣體就是朝四面八方運動的粒子而氣壓就是這些粒子撞擊器壁造成的。簡言之,它的嘗試讓我們能夠將抽象的但巨觀的「熱現象」理解為「微觀的粒子運動」——常見的自然現象:粒子的運動。倘若我們能使用粒子運動解釋熱現象,那就這意義上,我們將「熱現象」化約為「粒子運動」的問題了。這對於牛頓力學而言是很好的,因為這讓牛頓力學能應用的範圍更加廣大了。此外,在所有可能假設的、考慮的模型中,這種「粒子間作用力可忽略」的情況——氣體——是最容易考慮的,因為其他的情況太複雜了(如固體、液體等)。話說回來,雖然在所有高中以及大學物理課本中,都有氣體動力論的詳細推導過程,但這些推導都會涉及所謂的平均力,例如:

$$F_{\text{avg}}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{2mv_{i,x}}{2L/v_{i,x}}\right)$$

但這裡的平均力 $F_{\text{avg}}$ 究竟是不是瞬時力呢?畢竟,我們只能測量到瞬時力造成的壓力。由於我們並不是由瞬時力 F(t) 開始推導,而是先將每個粒子施力平均後,再加總得出平均力,所以不免讓部分同學感到這時的平均有點「任意」、「天外飛來一筆」。此外,這樣的推導過程難免讓人感到有點不真實。畢竟,我們測量到的壓力,都不是平均的,而是瞬時力對面積的比值。

有鑑於此,我嘗試從有別於傳統教科書(包括大學普物課本,Halliday & Serway)的角度,從瞬時力開始推導,並詳盡說明所謂的「平均」意義。這樣推導的好處是,至少可以破除「要累積一段時間動量之後才能平均算出這個力量 / 氣體壓力」的相關迷思。這推導讓我們從力量的疊加性開始思考,而非毫無緣由地,以 $\Delta t_i=2L/v_{i,x}$ 的時距,計算所謂的平均力,然後再把這些不同時段下考慮的平均力加總起來。在我的推導中,不會強調、凸顯 $2mv_x / (2L/v_x)$ 這項為平均力,因為它只會是個計算過程中的一項而已。當然,如果你尚未學過氣體動力論,那麼其實並不需要了解上述想法,只需要繼續往下看就好囉。

繼續閱讀

發表於 熱學, 高三物理 | 已標籤 | 發表迴響

質點概念所暗示的接觸定義

從國高中生們正在學習的牛頓力學出發,根據牛頓力學預設的質點概念,我們應該如何理解「半徑為 $5\left.\mathrm{cm}\right.$」的圓盤面積呢?是 $R\leq5$ 還是 $ R<5$ 呢?就這篇文章的論述,我個人給出 $ R<5 $ 的答案。這篇文章的目的,不在於讓讀者更瞭解當代原子與分子的概念。畢竟,我相信許數人或多或少都聽過量子力學、原子軌域,甚至是海森堡的不確定原理、哥本哈根詮釋,以及看過底下的薛丁格方程式:

$$\hat{H}\left|\Psi\left(\mathbf{r},t\right)\right\rangle=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\Psi\left(\mathbf{r},t\right)\right\rangle$$

也就是說,這篇文章的目的不在於追求真理,介紹當代科學對物質結構的認知。這篇文章的目的,是為了談談古典力學中經常使用的質點概念所蘊涵的接觸意義。這些內容也不是我首先設想、考慮的,這是我幾年前在物理哲學家 Marc Lange 教授的《An Introduction to Philosophy of Physics》一書所讀到的內容。在我消化過後,完全用自己的理解所呈現出來的論述,寫文章時沒有再去翻閱書籍。

希望我能夠藉由這篇文章,讓讀者能夠從另一個角度:「接觸是什麼意思?」,稍微理解為什麼當代科學對物質體積的看法,漸漸由「具有邊界的範圍」的觀點,轉變為「不具有邊界的範圍」——場。因為即便是牛頓力學也可能需要賦予體積概念如此這般的數學詮釋

繼續閱讀

發表於 牛頓定律, 物理哲學, 物理教育, 高二物理 | 發表迴響

如何在 WordPress 打 LaTeX 方程式?

答案是:我到現在都沒找到滿意的方法(嘆)。有鑒於相關的中文討論很少,所以特地寫這篇文章,拋磚引玉,分享點一點失敗心得給需要的人參考。

繼續閱讀

發表於 生活 | 已標籤 , , | 發表迴響

假功與真功(Pseudowork and real work)

該怎麼解釋人推牆壁時,牆壁對人不作功以及體內化學能轉換的現象呢?或者,該如何解釋在人攀岩、汽車前進時,峭壁與地面對人、車都不作功?而又該如何使用物理定律解釋它們的動能來源呢?這篇文章都能精準回答這些問題。

這篇是獲得美國物理期刊(American Journal of Physics)與 Bruce Sherwood 教授授權翻譯公開發佈的物理教育論文,是我上一篇〈動摩擦力的作功與熱傳分析〉譯文的理論基礎。主旨是指出常見的功能定理其實是只能描述質心運動的質心方程式,並舉出各經典範例以說明該如何使用「質心方程式」與「能量守恆定律」來解決這些問題。此外,對於這些全新的教學方法可能引來的批評與相關爭議,正面提出適當的回應。其中最重要的一點,就是在力學與熱力學之間,做出不必要的劃分。

基本上,我們已約定俗成地不在力學課中提及熱力學第一定律,取而代之的是僅能處理純力學範疇下的功能方程式,並為此努力闡明外力、內力、非保守力、力學能等相關概念。然而,這樣的教學方法有著一個很嚴重的缺點:它使得力學導論課過於制式化。如此這般的制式教學,使得我們沒辦法將能量關係應用在許多相當常見的力學問題,並由此產生了許多人為的、不必要的力學與熱力學之間的界線區分。

而在第五節的〈V. 助於釐清能量守恆定律的範例〉也是相當精彩。Sherwood 教授舉出七個範例,搭配示意圖以說明該如何同時使用質心方程式(俗稱的功能定理)與能量守恆定律(熱力學第一定律)解釋許多關於能量的問題。

繼續閱讀

發表於 功與能量, 學術翻譯著作, 物理教育, 高二物理 | 已標籤 , , , , | 發表迴響

蔡錦昌〈一派胡言:台灣學術界的隱疾〉

此文為東吳大學蔡錦昌教授之論文,已獲教授授權轉載(原文連結請點我),正文開始:

雖然台灣是個使用中文的地區,各級學校的教學用語以及社會各界的一般用語都是以國語為準的中文,但是就在高等教育界和學術界裡,中文其實已經變成僅是一種「替身語文」,而不是一種自本自根的「正身語文」。因為無論就所談知識內容或者就說寫方式和思考方式而言,真正的學術語文是以英文為代表的歐美外文,真正的學術是以英文為代表的歐美學術,中文只不過是它們的翻譯文,中文學術只不過是它們的替身和代理而已,自己是作不了主的。可惜很多人不曉得這個情況,還懵懵懂懂地憑藉中文來做學問,不知道如此做出來的學問根本貌似實乖,不能算數。而那些曉得情況如此的人卻佔了便宜又賣乖,鼓勵大家繼續往這條路走下去,還美其名曰「學術國際化」。大家「一派胡言」,其樂融融,渾然不察學術界已病入膏肓。

繼續閱讀

發表於 推薦閱讀, 談談翻譯 | 發表迴響

動摩擦力的作功與熱傳分析

這篇是獲得美國物理期刊(American Journal of Physics)與 Bruce Sherwood 教授授權翻譯公開發佈的物理教育論文,主旨是指出常見的摩擦力作功錯誤計算與詮釋,對功能定理的常見誤解,提出「假功」(pseudowork)以區分「真功」(real work)的概念,以及提出以熱力學第一定律(或說能量守恆定律)出發的計算與詮釋。

能夠獲得教授與美國物理期刊的授權,讓我翻譯這篇影響我許多的論文,實在是一件非常開心的事!在 Bruce Sherwood 教授的網誌中(brucesherwood.net/?p=134),有提到當時發表這篇論文的一些歷史。其實,在 1984 年發表的〈動摩擦力的作功與熱傳分析〉(此為英文版下載連結,源自教授的網誌首頁)之前,已經發表了更基礎的〈假功與真功〉論文,但因為教授的想法相當於否定了主流的解題方法,所以最初是被美國物理期刊退件的。不過,最後 AJP 當然還是勉強接受並發表了教授這兩篇文章。值得一提的是,在發表這篇〈動摩擦力的作功與熱傳分析〉之前,Bruce Sherwood 教授也有將他對摩擦力作功的常見教法的觀點,與相當著名的普通物理學參考書作者 Halliday 與 Resnick 分享。後來,Halliday 回信說:

Let me say at once that we are well aware of its serious flaws, along precisely the lines that you describe. We have tried several times to patch things up in successive printings but the matter runs too deep for anything but a total rewrite. We have, in fact, such a rewrite at hand, awaiting a possible next edition.

我們非常清楚你所描述的這些錯誤。我們嘗試過許多方法,試著在接下來的版本中修正這些錯誤。但這實在太過繁雜,以至於幾乎要完全重寫(功與能量的部分)。事實上,我們手邊已有些修訂後的草稿,或許會於下個版本修正好這一切。

有點遺憾的是,Sherwood 教授也提到,到目前(June 24, 2017)為止,他還沒看到 Halliday 於其新版著作中的任何修改。話說回來,最初我是在研究重力位能所處的位置時,開始思考摩擦力作功的詭異問題,畢竟這都涉及到最根本的「功是能量的傳遞管道」、「作用點位移」與「質心位移」的差異。而我在讀完 Sherwood 教授與其他相關文獻後,也寫了兩篇整理、總結文章,有興趣的讀者可以參考〈力學能守恆定律可由牛頓定律推得嗎?〉、〈摩擦力作功的意義〉。另外,我在網路上有看過另一篇討論此問題的文章,提供給讀者參考:[題目] 奧林匹亞 摩擦力的做功問題

繼續閱讀

發表於 功與能量, 學術翻譯著作, 物理教育, 高二物理 | 已標籤 , , , , | 發表迴響

科學教育有責任提升學生的環保意識嗎?

【慢魚串連】當海洋成了塑膠湯│魚肝腸病變腫瘤,塑膠重返人類食物鏈

NASA(美國太空總署)製作的視覺化模擬全球塑膠垃圾移動與匯聚動線

現今的科學教育為了環境保育意識的提升做了些什麼呢?還是說,以物理教育為例,我們有能力提供學生豐富的但對日常生活毫無用處的重力位能、電磁學、彈性碰撞知識,但對於提升環保意識仍是束手無策?科學教育如何融入對環境保育議題的意識?如何讓人們重視「不在眼前」的「巨大問題」?這恐怕需要教師本人也十分重視環保,這種教育目標才有可能。
還是說科學教育對於環保意識其實是毫無責任的呢是嗎不是嗎為什麼
繼續閱讀

發表於 反省錄, 物理教育, 生活, 社會議題, 科學素養 | 已標籤 , , | 發表迴響

台大物理系畢業的我,是否比較有科學素養?

昨天跟朋友聊到「詮釋與真實」。他說,量子力學帶給他最大的震驚就在於以前於牛頓力學所學的「力量」概念居然只是一種模型;那並不是真實的。這樣的衝擊再加上他於天文物理中的計算物理領域所看到的,各種為了解釋實驗數據的理論模型,使他覺得物理學帶給他的兩大認知,就是「詮釋與真實並不相同」以及「我們一直都只活在詮釋之中」。

繼續閱讀

發表於 反省錄, 物理教育, 生活, 社會議題, 科學素養 | 已標籤 , , | 4 則迴響

[閒聊] 教明星高中的學生要教多難

這篇是我在 PTT 家教版所看見的文章,〈[閒聊] 教明星高中的學生要教多難〉,算是有感而發(當然是這樣 XD)。原文如下:

最近被一個明星高中的家長辭退,理由是我教的東西太簡單,跟學校考試不符合。 可是我一直覺得真正厲害的老師應該是教的東西大考會考,教的難度比大考難一點點,這 樣不但可以重複強調重點,也可以節省時間不去看那些只有段考會考的題目…而且教那些 學生也不會用… 大家都是怎麼面對明星高中一、二年級的學生(手上高三高四明星高中學生都沒這個問題 )

而我的回文是:僅以我們家教老師可能影響的、可能實踐的、可能控制的範圍來看,我覺得我們能夠做的大概主要有以下兩點(我的 PTT 回覆文章在此)。

繼續閱讀

發表於 反省錄, 物理教育, 生活 | 已標籤 , , , , | 發表迴響