為何這些現象跟慣性定律有關?

  1. 在北半球向正北方發射長程飛彈,則著地點在出發點的北偏東(這現象應該是由於科氏力吧!科氏力和慣性定律有關?)
  2. 旋轉雨傘,傘面上的雨水沿切線方向飛去(是因為沿切線飛出去的速度是等速度,所以才和慣性有關嗎?)
  3. 搖果樹,可使果實掉落(果實掉落是因為受到重力加速度,有受外力,且掉落的速度非等速度 ,為何和慣性定律有關?)
  4. 手拍衣服可以除去灰塵(這應該是手施外力造成的,為何和慣性有關?)
  5. 在奔馳的馬背上垂直躍起,最後仍可落回馬背(奔馳的馬如果不是等速度應該就不會落回馬背了吧?)
  6. 在等速行進的火車中鉛直上拋一球,球可落回手上
  7. 刀柄鬆脫時,將柄在地上敲擊,可使牢固(這應該是手施外力造成的,為何和慣性有關?)
  8. 用鏟子把煤鏟入火堆
  9. 洗手後,用力把手甩乾(這應該是手施外力造成的,為何和慣性有關?)
  10. 地震發生時,很多桌椅或物品會左右晃動

這是我在 PTT Seniorhigh 討論區看見的文章,我在 PTT 上回應後,順手整理如下,作為闡述慣性定律的好例子,我會使用底下兩種慣性定律加以說明這些現象。至於下列兩種慣性定律,究竟與常見的「靜者恆靜,動者恆作等速度運動」有何不同?還請讀者參考我另一篇文章——〈所以,牛頓第一定律有什麼用?〉:

  • 延時慣性:每個物體都會維持在它的靜止狀態之中,或勻速運動狀態之中,直到它被施加於其上的外力,強迫改變其運動狀態。
  • 瞬時慣性:每個物體都會盡其所能地維持其運動狀態。

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《我們對科學有多少誤解?》——清大科學史系主任吳國盛教授演講

本文轉載自《知乎


為什麼科學精神起源於古希臘而不是中國?「科技不分以技代科」的中國文化?科學的理論等於正確的理論嗎?什麼是科學?科學精神的本質是什麼?功利主義的科學觀有哪些局限?

2018年10月30日晚,科學史家清華大學人文學院教授科學史系主任吳國盛在人文清華講壇發表名為《我們對科學有多少誤解?》的主題演講,從科學史的角度,幫助觀眾澄清許多誤解,通過追溯科學的起源,追問科學的本質,思考中國科學的發展方向。他提出,為了中華民族的偉大復興,應該讓科學精神扎根於中國文化的土壤之中,改良我們的文化土壤;應該在強調科學技術是第一生產力的同時,多弘揚自由科學的精神。

吳國盛教授同時兼任國務院學位委員會科技史學科評議組成員、中國自然辯證法研究會科學傳播與科學教育專業委員會主任。曾任第七、八屆中國科學技術史學會副理事長、北京大學科學史與科學哲學研究中心主任。1998年獲第六屆“中國青年科技獎”。代表作《什麼是科學》《科學的歷程》《時間的觀念》《希臘空間概念》《技術哲學講演錄》等。

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清華大學緣何創辦科學史系?——訪著名科學史家吳國盛教授

本文轉載自《科技文摘報》,2017年6月29日第1849期。底下正文開始。

科學史是科學與人文交叉會通的高端新型前沿學科,也是滲透文理、貫通古今、融匯中西的典型橋樑學科。清華大學作為中國近代科學技術發展歷程的最早見證者和卓越代表,為建成中國自己的科技教育體系和科技創新體系做出了歷史性的獨特貢獻。

2017年5月,清華大學科學史系聲明成立。近日,該系創系主任吳國盛教授接受了本報總編輯的專訪——

科學史是科學與人文交叉會通的高端新型前沿學科,也是滲透文理、貫通古今、融匯中西的典型橋梁學科。

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Sentaurus TCAD 彩色編輯器安裝方法

經過這次重新設定 Linux 的教訓,決定寫一篇教學文章,留給未來之後不知何時又需要重新設定的自己,以及應該跟我之前一樣,覺得預設編輯器超難看,想要讓眼睛舒服點的人。


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所以,牛頓第一定律有什麼用?

這大概是從我國中接觸物理到現在,最想處理的一個棘手議題——到底牛頓第一定律有什麼用?有個常見的說法是「這是牛頓第二定律所蘊涵的命題」。而另一個說法是,其實牛頓第一定律主要的內涵在慣性參考系的概念。以第二種說法而言,根據 Stanford Encyclopedia of Philosophy / Space and Time: Inertial Frames,其實牛頓本人寫的《Principia》並沒特別指出慣性參考系這種概念。之所以會有慣性參考系的概念,是因為既然我們知道不受力的物體都會做等速直線運動,那麼究竟是對「誰」做等速直線運動(詳見 19th-Century Analyses of the Law of Inertia)?後來恩斯特·馬赫(Ernst Mach)才指出,其實牛頓的慣性定律,或者說整組牛頓定律其實都是隱晦地(implicitly)相對於無窮遠處固定不動的星體的定律。換言之,所謂的慣性參考系,就是相對於無窮遠處星體做等速運動的所有參考系。

話說回來,無論如何,牛頓第一定律——慣性定律——都不會是慣性參考系本身。既然如此,那慣性定律到底是什麼呢?如果只是靜者恆靜,動者恆作等速度直線運動,那這不就是可簡單由第二定律推得的嗎?

Law 1: Every body preserves in its state of rest, or of uniform motion in a right line, unless it is compelled to change that state by forces impressed thereon.

Law 2: The alteration of motion is ever proportional to the motive forces impressed; and is made in the direction of the right line in which that force is impressed.

我想在此分享我對由 Igal Galili 與 Michael Tseitlin 寫的〈Newton’s First Law: Text, Translations, Interpretations and Physics education〉的閱讀心得。簡言之,原始論文的兩位作者經由對牛頓拉丁原稿的研究,發現慣性定律有著兩種互補的形式,分別是延時形式(temporal)與量化形式(quantitative)。前者就是常見教科書的版本,但後者是自從慣性定律被譯成英文版後,就被大家忽視的版本(也就是翻錯了),而且我們只能從量化形式理解作為「努力維持運動狀態」的慣性意義,並進而由此推出第二定律的雛形,作為解釋運動現象的全新觀點。因此,兩位作者希望能夠藉此文重振牛頓第一定律在基礎物理課程中的重要性。而關於下述慣性定律的應用,可參考〈為何這些現象跟慣性定律有關?〉這篇文章。

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布拉格與勞厄繞射之等價證明

高中時就覺得布拉格繞射的鏡面反射條件非常奇怪,畢竟原子怎麼可能知道它能夠與周圍原子形成什麼樣的等效鏡面,甚至進而產生如此有規律的鏡面反射?讀了固態物理才知道,原來我以前都誤以為每個原子只會有一種等效鏡面,實際上,任何晶格面之間都可以構成布拉格繞射,如下圖一。

(圖一)黑色箭頭表入射波,而其餘的藍色、綠色與橘色箭頭,則表示對於由虛線表示的晶格面的——滿足入射角等於反射角的鏡面反射的——布拉格繞射。

而對於每一組晶格面而言,特定的入射波有著固定的散射角 $\theta$,即

$$2d\sin\theta=n\lambda\tag{1}$$

雖然對於有著多種晶格面的察覺使我不再覺得「鏡面反射假設」很奇怪,但我還是覺得有點怪怪的,好像看不太清楚這些波動互相干涉的過程。直到讀了勞厄繞射,我才覺得這一切比較理所當然了點。我希望能在這篇文章分享我對布拉格繞射與勞厄繞射的了解,這兩者真的是非常漂亮的繞射形式。此外,我覺得如果我們從勞厄繞射的角度切入了解晶體結構,那麼會更容易接受所謂的倒晶格(reciprocal lattice)的概念。不過因為我只從 Ashcroft & Mermin (A&M)的固態物理稍微學學繞射,所以一定有所疏漏,還請多多包涵。底下內容完全來自我對 A&M 的消化理解,有興趣的讀者可以參考 A&M 的 〈Ch.5 The Reciprocal Lattice〉 與 〈Ch.6 Determination of Crystal Structures by X-ray Diffraction〉

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本質半導體的載子濃度推導

在常見的 Neaman 固態電子學教科書中,電子濃度($n\equiv N/V$)的推導是藉由自由電子氣體模型的能階密度所類比得到的。我希望能在這篇文章,由半古典電子動力學模型、能帶理論、倒空間、費米面等觀念,大致完整走過一次物理推導。以求在「不使用類比」的前提下,由物理的方法得到所謂的電子載子濃度:

$$n=\int_{\varepsilon_c}^{\infty}g_c(\varepsilon)f(\varepsilon)d\varepsilon$$

其中,$g_c(\varepsilon)$ 為在能階能量為 $\varepsilon$ 時,能階數目隨著能量 $\varepsilon$ 改變的變化速率。根據採用的普朗克常數,有兩種不同寫法:

$$g_c(\varepsilon)=\frac{4\pi(2m_c)^{3/2}}{h^3}\sqrt{\varepsilon-\varepsilon_c}=\frac{m_c^{3/2}}{\pi^2\hbar^3}\sqrt{2(\varepsilon-\varepsilon_c)}$$

所謂的自由電子模型,是指在完全忽略電子間交互作用,並且讓這些電子在完全沒有位能的情況下,所推得的波函數組態。這一直讓我很困擾,畢竟實際上半導體中的傳導電子並不是處在一個完全沒有位能的環境中。這些傳導電子——或者說價電子——其實是位於具有著週期性的位能環境中,從而使得布拉赫理論(Bloch theorem)成立。

$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(\mathbf{r})\right]\psi=\varepsilon\psi$$

$$U(\mathbf{r})=U(\mathbf{r}+\mathbf{R})\quad\to\quad\psi(\mathbf{r}+\mathbf{R})=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}}\psi(\mathbf{r})$$

其中,$\mathbf{R}$ 為布拉菲晶格(Bravais lattice)中的任意晶格向量 $\mathbf{R}\equiv n_1\mathbf{a}_1+n_2\mathbf{a}_2+n_3\mathbf{a}_3\;,\;n_i\in\mathbb{Z}$。並且 $\mathbf{k}$ 為倒晶格(reciprocal lattice)中的任意向量:$\mathbf{k}=x_1\mathbf{b}_1+x_2\mathbf{b}_2+x_3\mathbf{b}_3\;,\;x_i\in\mathbb{C}$。而在搭配玻恩—卡曼邊界條件(Born-Von Karman boundary condition)後,我們可得到波向量 $\mathbf{k}$ 中的 $x_i$ 為 $x_i=m_i/N_i$ 的實數且 $m_i$ 為整數的解($N_i$ 為布拉菲晶格在 $\mathbf{a}_i$ 方向上的基本晶胞(primitive cell)數目,$N_i\equiv L/a_i$)。

這是我第一篇使用固態物理以試圖解釋常見半導體物理公式的文章。除了想寫給同樣有興趣了解的讀者以外,也是想試著用自己的話、熟悉的中文語言,重新解釋清楚究竟我學了什麼。由於我的固態物理是自學的,所以可能有些錯誤,還請多多包涵。

我不知道有沒有人跟我一樣,對於工程的東西,就是比較難直接吞下去,總是希望可以由物理學、第一原理盡可能地推下去。相信你應該會覺得這根本瘋了,但我也不知道為什麼,我自己大概只有這樣才能把那些工程學科學得好。這也是為什麼我的固態電子學總是學得很吃力,因為很難(在感情上?)接受那些觀念、推論。對我而言,那些類比的說服力並不足夠強,我希望能看到更多的物理上的詳細推導,我才能夠在心中有所謂的物理直覺、圖像等。這篇文章,我想談談應該算是第一個重要的半導體物理公式。這篇文章用到很多我沒有細講的概念,一方面是自己也不清楚背後的深厚理論,二方面是即便清楚,也沒有足夠時間寫文章交待清楚。但如果你想知道更多某部分的物理,是很歡迎你留言跟我說的。未來我也會找時間寫寫我覺得很基本且重要的固態物理觀念。

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更嚴謹的氣體動力論推導

物理學的發展,原則上就是盡可能地化繁為簡。能夠用一句話說清楚的,就不要用兩句話來說。如果可能,我們希望這世界的運作機制能夠僅由一條簡單的定律來解釋。常見的溫度與熱,是不是可以用我們更熟悉的日常現象來解釋呢?在我們學完溫度以及基本的熱現象後,我們往往緊接著學習所謂的氣體動力論(Kinetic theory of gas),之所以如此,是因為這能讓我們進一步了解常見的熱現象究竟是怎麼來的

氣體動力論的主要內容是,氣體就是朝四面八方運動的粒子而氣壓就是這些粒子撞擊器壁造成的。簡言之,它的嘗試讓我們能夠將抽象的但巨觀的「熱現象」理解為「微觀的粒子運動」——常見的自然現象:粒子的運動。倘若我們能使用粒子運動解釋熱現象,那就這意義上,我們將「熱現象」化約為「粒子運動」的問題了。這對於牛頓力學而言是很好的,因為這讓牛頓力學能應用的範圍更加廣大了。此外,在所有可能假設的、考慮的模型中,這種「粒子間作用力可忽略」的情況——氣體——是最容易考慮的,因為其他的情況太複雜了(如固體、液體等)。話說回來,雖然在所有高中以及大學物理課本中,都有氣體動力論的詳細推導過程,但這些推導都會涉及所謂的平均力,例如:

$$F_{\text{avg}}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{2mv_{i,x}}{2L/v_{i,x}}\right)$$

但這裡的平均力 $F_{\text{avg}}$ 究竟是不是瞬時力呢?畢竟,我們只能測量到瞬時力造成的壓力。由於我們並不是由瞬時力 F(t) 開始推導,而是先將每個粒子施力平均後,再加總得出平均力,所以不免讓部分同學感到這時的平均有點「任意」、「天外飛來一筆」。此外,這樣的推導過程難免讓人感到有點不真實。畢竟,我們測量到的壓力,都不是平均的,而是瞬時力對面積的比值。

有鑑於此,我嘗試從有別於傳統教科書(包括大學普物課本,Halliday & Serway)的角度,從瞬時力開始推導,並詳盡說明所謂的「平均」意義。這樣推導的好處是,至少可以破除「要累積一段時間動量之後才能平均算出這個力量 / 氣體壓力」的相關迷思。這推導讓我們從力量的疊加性開始思考,而非毫無緣由地,以 $\Delta t_i=2L/v_{i,x}$ 的時距,計算所謂的平均力,然後再把這些不同時段下考慮的平均力加總起來。在我的推導中,不會強調、凸顯 $2mv_x / (2L/v_x)$ 這項為平均力,因為它只會是個計算過程中的一項而已。當然,如果你尚未學過氣體動力論,那麼其實並不需要了解上述想法,只需要繼續往下看就好囉。

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質點概念所暗示的接觸定義

從國高中生們正在學習的牛頓力學出發,根據牛頓力學預設的質點概念,我們應該如何理解「半徑為 $5\left.\mathrm{cm}\right.$」的圓盤面積呢?是 $R\leq5$ 還是 $ R<5$ 呢?就這篇文章的論述,我個人給出 $ R<5 $ 的答案。這篇文章的目的,不在於讓讀者更瞭解當代原子與分子的概念。畢竟,我相信許數人或多或少都聽過量子力學、原子軌域,甚至是海森堡的不確定原理、哥本哈根詮釋,以及看過底下的薛丁格方程式:

$$\hat{H}\left|\Psi\left(\mathbf{r},t\right)\right\rangle=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\Psi\left(\mathbf{r},t\right)\right\rangle$$

也就是說,這篇文章的目的不在於追求真理,介紹當代科學對物質結構的認知。這篇文章的目的,是為了談談古典力學中經常使用的質點概念所蘊涵的接觸意義。這些內容也不是我首先設想、考慮的,這是我幾年前在物理哲學家 Marc Lange 教授的《An Introduction to Philosophy of Physics》一書所讀到的內容。在我消化過後,完全用自己的理解所呈現出來的論述,寫文章時沒有再去翻閱書籍。

希望我能夠藉由這篇文章,讓讀者能夠從另一個角度:「接觸是什麼意思?」,稍微理解為什麼當代科學對物質體積的看法,漸漸由「具有邊界的範圍」的觀點,轉變為「不具有邊界的範圍」——場。因為即便是牛頓力學也可能需要賦予體積概念如此這般的數學詮釋

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如何在 WordPress 打 LaTeX 方程式?

答案是:我到現在都沒找到滿意的方法(嘆)。有鑒於相關的中文討論很少,所以特地寫這篇文章,拋磚引玉,分享點一點失敗心得給需要的人參考。

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